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歐拉定理是如何證明的

科技更新时间:2024-07-05 17:01:36

【歐拉定理及向量證明】

三角形三條邊的中垂線交于一點叫作外心，三條中線交于一點叫作重心，三條高所在直線交于一點叫作垂心.瑞士數學家歐拉(1704-1783)發現任意三角形的外心、重心、垂心總在一條直線上，因此這條直線被稱為歐拉線.

這個結論用幾何方法證明比較繁瑣，利用向量方法可以作出簡單的證明．

歐拉定理是如何證明的（歐拉定理及應用舉例）1

歐拉定理是如何證明的（歐拉定理及應用舉例）2

【例題精析】

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【強化練習】

一、單選題

1. 著名數學家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理則被稱為歐拉線定理．設點O,H 分别是直角三角形ABC 的外心、垂心，點H和點B 重合，且M為BC中點，則( )

歐拉定理是如何證明的（歐拉定理及應用舉例）8

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二、多選題

2. 瑞士數學家歐拉在1765年發表的《三角形的幾何學》一書中有這樣一個定理：“三角形的外心垂心和重心都在同一直線上，而且外心和重心的距離是垂心和重心距離之半”這就是著名的歐拉線定理 .設三角形ABC 中，點O、H 、G 分别是外心、垂心、重心,下列四個選項中結論正确的是 ( )

歐拉定理是如何證明的（歐拉定理及應用舉例）10

歐拉定理是如何證明的（歐拉定理及應用舉例）11

歐拉定理是如何證明的（歐拉定理及應用舉例）12

3. 著名數學家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理被稱為歐拉線定理．已知三角形ABC的外心為O，垂心為H，重心為G，且AB=2，AC=3,則下列說法正确的是 ( )

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歐拉定理是如何證明的（歐拉定理及應用舉例）14

4. 著名數學家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理被稱為歐拉線定理．已知三角形ABC的外心為O，重心為G，垂心為H，點M為BC中點，且AB=4，AC=2，則下列各式正确的有 ( )

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