第一單元 四則運算

1、加、減的意義和各部分間的關系

（1）把兩個數合并成一個數的運算，叫做加法。

（2）相加的兩個數叫做加數。加得的數叫做和。

（3）已知兩個數的積與其中的一個加數，求另一個加數的運算，叫做減法。

（4）在減法中，已知的和叫做被就減數……。減法是加法的逆運算。

（5）加法各部分間的關系：

和=加數＋加數

加數=和－另一個加數

（6）減法各部分間的關系：

差=被減數－減數

減數=被減數－差

被減數=減數＋差

2、乘、除法的意義和各部分間的關系

（1）求幾個相同加數的和和的簡便運算，叫做乘法。

（2）相乘的兩個數叫做因數。乘得的數叫做積。

（3）已知兩個因數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算，叫做除法。

（4）在除法中，已知的積叫做被除數…… 。除法是乘法的逆運算。

（5）乘法各部分間的關系：

積=因數×因數

因數=積÷另一個因數

（6）除法各部分間的關系：

商=被除數÷除數

除數=被除數×商

被除數=商×除數

（7）有餘數的除法，

被除數=商×除數 餘數

2、加法、減法、乘法、除法統稱為四則運算

3、四則混和運算的順序

（1）在沒有括号的算式裡，如果隻有加、減法，或者隻有乘、除法，都要按（從左往右）的順序計算；

（2）在沒有括号的算式裡，如果既有乘、除法，又有加、減法，要先算（乘、除法），後算（加、減法）；（先乘除,後加減）

（3）在有括号的算式裡，要先算括号裡面的，後算括号外面的。

4、有關0的計算

①一個數和0相加，結果還得原數：

a 0 =a 0 a = a

②一個數減去0，結果還得這個數：

a － 0 = a

③一個數減去它自己，結果得零：

a － a = 0

④一個數和0相乘，結果得0：

a × 0 = 0 ; 0 × a = 0

⑤0除以一個非0的數，結果得0：

0 ÷ a = 0 ；

⑥ 0不能做除數：

a÷0 = （無意義）

5、租船問題。

解答租船問題的方法：先假設、再調整。

第二單元 觀察物體二

1、正确辨認從上面、前面、左面觀察到物體的形狀。

2、觀察物體有訣竅，先數看到幾個面，再看它的排列法，畫圖形時要注意，隻分上下畫數量。

3、從不同位置觀察同一個物體，所看到的圖形有可能一樣，也有可能不一樣。

4、從同一個位置觀察不同的物體，所看到的圖形有可能一樣，也有可能不一樣。

5、從不同的位置觀察，才能更全面地認識一個物體。

第三單元 運算定律

1、加法運算定律：

①加法交換律：兩個數相加，交換加數的位置，和不變。

a＋b＝b＋a

②加法結合律：三個數相加，可以先把前兩個數相加，再加上第三個數；或者先把後兩個數相加，再加上第一個數，和不變。

(a＋b) ＋c＝a＋(b＋c)

③加法的這兩個定律往往結合起來一起使用。

如：165＋93＋35＝93＋（165＋35）

2、連減的性質：一個數連續減去兩個數，等于這個數減去那兩個數的和。

a－b－c＝a－(b＋c)

3、乘法運算定律：

①乘法交換律：兩個數相乘，交換因數的位置，積不變。

a×b＝b×a

②乘法結合律：三個數相乘，可以先把前兩個數相乘，再乘以第三個數，也可以先把後兩個數相乘，再乘以第一個數，積不變。

(a×b) ×c＝a×(b×c)

乘法的這兩個定律往往結合起來一起使用。

如：125×78×8的簡算。

③乘法分配律：兩個數的和與一個數相乘，可以先把這兩個數分别與這兩個數相乘，再把積相加。

(a＋b) ×c＝a×c＋b×c

4、連除的性質：一個數連續除以兩個數，等于除以這兩個數的積。

a÷b÷c＝a÷(b×c)

5、有關簡算的拓展：

102×38－38×2

125×25×32

37×96 37×3 37

125×88

3.25＋1.98

10.32－1.98

易錯的情況：

0.6 0.4-0.6 0.4

38×99 99

第四單元 小數的意義和性質

1、在進行測量和計算時，往往不能正好得到整數的結果，這時常用（小數）來表示。

分母是10、100、1000……的分數可以用（小數）來表示；

分母是10的分數可以寫成（一位）小數，

分母是100的分數可以寫成（兩位）小數，

分母是1000的分數可以寫成（三位）小數……

所以，一位小數表示（十分）之幾，

兩位小數表示（百分）之幾，

三位小數表示（千分）之幾……

如：

0.5表示（十分之五），

0.05表示（百分之五），

0.25表示（百分之二十五），

0.005表示（千分之五），

0.025表示千分之二十五）。

2、小數點前面的數叫小數的（整數）部分，小數點後面的數叫小數的（小數）部分，

3、小數點後面第一位是（十）分位，十分位的計數單位是十分之一，又可以寫作0.1；

小數點後面第二位是（百）分位，百分位的計數單位是百分之一，又可以寫作0.01；

小數點後面第三位是（千）分位，千分位的計數單位是千分之一，又可以寫作0.001……

如：20.375，十分位上的3，表示3個（十分之一）；百分位上的7，表示7個（百分之一）；千分位上的5，表示5個（千分之一）。

4、小數每相鄰兩個計數單位間的進率都是10,（10個千分之一是1個百分之一，10個百分之一是1個十分之一，10個十分之一是整數1，或10個0.001是1個0.01 ,10個0.01是1個0.1, 10個0.1是整數1……

5、讀小數時，整數部分按照整數的讀法去讀，小數點讀作“點”，小數部分要依次讀出每一個數字。

如：31.031讀作：三十一點零三一

6、寫小數時，整數部分按照整數的寫法來寫，小數點寫在個位的右下角，小數部分要依次寫出每一個數位上的數字。

如：一百二十點零零九八

寫作：120.0098

7、在小數的末尾添上“0”或去掉“0”，小數的大小不變，這叫小數的性質。

如：

0.2= 0.20 = 0.200 =0.2000 =……

1.05=1.050 =0.0500 =0.0500=……

1.080=1.08

10.0800=10.08

100.080000= 100.08

8、小數大小的比較：

先比較整數部分，整數部分大，那個小數就大；整數部分相同，就比較小數部分，十分位相同，就比較百分位，百分位也相同，就比較千分位……

9、小數點的移動：

（1）小數點向右：移動一位，相當于把原數乘10，小數就擴大到原數的10倍；移動兩位，相當于把原數乘100，小數就擴大到原數的100倍；移動三位，相當于把原數乘1000，小數就擴大到原數的1000倍……

（2）小數點向左：移動一位，相當于把原數除以10，小數就縮小到原來的1/10；移動兩位，相當于把原數除以100，小數就縮小到原來的1/100；移動三位，相當于把原數除以1000，小數就縮小到原來的1/1000……

10、不同數量單位的數據之間的改寫：

低級單位數÷進率=高級單位數

×

當進率是10、100、1000……時，可以直接利用小數點的移動來換算。

11、求近似數時： 保留整數，就是精确到個位，看十分位上的數來四舍五入；

保留一位小數，就是精确到十分位，看百分位上的數來四舍五入；

保留兩位小數，就是精确到百分位，看千分位上的數來四舍五入。

（表示近似數時小數末尾的0不能去掉）

12、為了讀寫方便，常常把非整萬或整億的數改寫成用“萬”或“億”作單位的數：改寫時，隻要在萬位或億位的右邊，點上小數點，在數的後面加上“萬”字或“億”字

第五單元 三角形

1、由三條線段圍成（每相鄰兩條線段的端點相連）的圖形叫三角形。如：

2、從三角形的一個頂點到它的對邊作一條垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高。這條對邊叫做三角形的底。如：

3、三角形具有穩定性。

4、三角形任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊。

5、

三角形按角分類，可以分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形這三類；如：

6、三角形按邊分類，可以分為等腰三角形、等邊三角形和不等邊三角形這三類。如：

7、三角形的三個内角和是180º。

第六單元 小數的加減法

1、筆算小數加、減法的方法：

（1）小數點對齊，也就是相同數位對齊；

（2）從末位算起，算加法時，哪一位數相加滿十都要向前一位進1；算減法時，哪一位不夠減就要從前一位退1。

（3）得數末尾有 0，一般要把0去掉。

（4）不要忘記了小數點。

2、小數加減混合運算的順序與整數加減混合運算的順序相同：

（1）沒有括号，按從左往右的順序依次計算；

（2）有小括号，要先算小括号裡面的。

3、整數的運算定律在小數運算中同樣适用。在小數四則運算中，恰當地運用加法交換律、結合律及連減的運算性質會使計算更簡便。

4. 得數是小數時，（末尾）的0一般要去掉。

5. 一個整數與一個小數相加減時：

① 先在整數的右邊點上小數點；

② 再添上與另一個小數部分同樣多個數的0；

③ 然後再按照小數加減法的計算方法計算。

6. 得數是小數時，（末尾）的0一般要去掉。

7、驗算：

加法驗算：

①交換加數的位置再加一遍，看結果與原來是否相同；

②用減法，把和減去一個加數，看差是否與另一個加數相同。

減法驗算：

① 用加法，把減數與差相加，看結果是否等于被減數；

② 用減法，把被減數減去差，看是否等于減數。

應用整數運算定律進行小數的簡便計算：

整數運算定律在小數運算中同樣适用。在小數四則運算中，恰當地運用加法（交換律）、（結合律）及減法的運算性質會使計算更簡便。

8、 簡便運算方法：

⑴ 幾個小數連加時，如果其中的兩個小數的尾數相加能湊整，先把這兩個數相加，可使計算簡便；

如：0.36 18.09 2.64 4.91

⑵ 一個數連續減去兩個小數時，如果這兩個小數相加的和能湊整，可以先把兩個減數相加，再從被減數裡減去這兩個減數的和比較簡便；

如： 13.2-5.73-4. 27

⑶ 一個數減去兩個小數的和，當這兩個數中的一個數的小數部分與被減數的小數部分相同時，可以先從被減數裡減去這個數，然後再減去另一個數，計算比較簡便。

如： 18.63-（4.75 3.63）

⑷ 整數乘法的運算定律在小數乘法中同樣适用

如: 3.65×42.6 3.65×57.4

⑸ 在小數運算中，可以利用（添括号）或（去括号）使計算簡便:

→無論是去括号或添括号

① 括号前面是加号，去掉括号不變号；

如： 6.59-4.86 2.86

②括号前面是減号，去掉括号全變号（加号變減号，減号變加号）。

如： 6.47-(1.5-0.53)

⑹ 在沒有括号的同級運算中，交換數據的位置，一定要帶着它前面的符号。

如： 4.95-2.67 1.05

第七單元 圖形的運動二

1、把一個圖形沿着某一條直線對折，如果直線兩旁的部分能夠完全重合，我們就說這個圖形是軸對稱圖形，這條直線叫做這個圖形的對稱軸。

2、軸對稱的性質：對應點到對稱軸的距離都相等。

3、對稱軸是一條直線，所以在畫對稱軸時，要畫到圖形外面，且要用虛線。

4、正方形的對角線所在的直線是它的對稱軸。軸對稱圖形可以有一條或幾條對稱軸。

5、畫對稱軸時，先找到與相反方向距離對稱軸相同的對應點，最後連線。

6、長方形、正方形、等腰梯形、等腰三角形、等邊三角形、線段、菱形都是軸對稱圖形。

長方形有2條對稱軸，

正方形有4條對稱軸，

等腰梯形有1條對稱軸，

等腰三角形有一條對稱軸，

等邊三角形有3條對稱軸，

線段有1條對稱軸，

菱形有2條對稱軸，

圓有無數條對稱軸，

半圓有一條，

圓環有無數條，

半圓環有一條。

7、平行四邊形不是軸對稱圖形，沒有對稱軸。（長方形和正方形除外）

8、梯形不一定是軸對稱圖形。隻有等腰梯形是軸對稱圖形。

9、古今中外，許多著名的建築就是對稱的。比如：中國的趙州橋，印度泰姬陵，英國塔橋，法國埃菲爾鐵塔。

10、平移先找圖形點，平移完點連起來，注意數點數要數十字。

11、平移不改變圖形的大小、形狀，隻改變圖形的位置。

12、利用平移，可以求出不規則圖形的面積。

第八單元 平均數和條形統計圖

平均數：

1.求平均數的方法：

(1)數據較少:移多補少法.

(2)常用方法：先合後分計算： 總數÷份數＝平均數

２.平均數能清楚地表示一組數據的整體水平。

條形統計圖：

将兩個單式條形統計圖合并以後就得到一個複式條形統計圖。

複式條形統計圖要有圖例。

複式條形統計圖有橫向和縱向兩種。

複式條形統計圖是用兩個單位長度表示一個的數量，根據數量的多少畫成長短不同的直條，

怎樣畫橫向複式條形統計圖

1.準備尺子，鉛筆，橡皮等畫圖工具。

2.注意寫單位，畫中坐标和橫坐标還有日期名字還有橫坐标上的“0”。

3.假如位置有限，例如說0到10，到20，假如你寫到200，位置絕對有限，你可以在0的上面畫波浪線，然後寫100（當然其他數也可以，但最标準的還是畫閃電線）。

4.例如上圖兩者要有不同的顔色，假如沒有色筆，第一個可以畫斜線，第二個可以塗得嚴嚴實實。

5.在每個圖的下方都要寫标題。

複式條形統計圖：

【特點】用直條的長短表示數量的多少。【優點】能清楚地看出數量的多少，便于比較兩組數據的多少。

後把這些直條按一定的順序排列起來。從複式條形統計圖中很容易看出兩者數量的多少。

第九單元 數學廣角-雞兔同籠

1、雞兔同籠屬于假設問題，假設的和最後結果相反。

2、“雞兔同籠”問題的解題方法

假設法：

①假如都是兔

②假如都是雞

③古人“擡腳法”：

解答思路：

假如每隻雞、每隻兔各擡起一半的腳，則每隻雞就變成了“獨腳雞”，每隻兔就變成了“雙腳兔”。這樣，雞和兔的腳的總數就少了一半。這種思維方法叫化歸法。

3、公式：

雞兔總腳數÷2－雞兔總數 = 兔的隻數；

雞兔總數－兔的隻數 = 雞的隻數。

5

第一單元 圖形的變換

圖形變換的基本方式是平移、對稱和旋轉。

1、軸對稱:如果一個圖形沿着一條直線對折後兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。

（1）學過的軸對稱平面圖形：長（正）方形、圓形、等腰三角形、等邊三角形、等腰梯形……

等腰三角形有1條對稱軸，

等邊三角形有3條對稱軸，

長方形有2條對稱軸，

正方形有4條對稱軸，

等腰梯形有1條對稱軸，

任意梯形和平行四邊形不是軸對稱圖形。

（2）圓有無數條對稱軸。

（3）對稱點到對稱軸的距離相等。

（4）軸對稱圖形的特征和性質：

①對應點到對稱軸的距離相等；

②對應點的連線與對稱軸垂直；

③對稱軸兩邊的圖形大小、形狀完全相同。

（5）對稱圖形包括軸對稱圖形和中心對稱圖形。平行四邊形（除棱形）屬于中心對稱圖形。

2、旋轉：在平面内，一個圖形繞着一個頂點旋轉一定的角度得到另一個圖形的變化較做旋轉，定點O叫做旋轉中心，旋轉的角度叫做旋轉角，原圖形上的一點旋轉後成為的另一點成為對應點。

（1）生活中的旋轉：電風扇、車輪、紙風車

（2）旋轉要明确繞點，角度和方向。

（3）長方形繞中點旋轉180度與原來重合，正方形繞中點旋轉90度與原來重合。等邊三角形繞中點旋轉120度與原來重合。

旋轉的性質：

（1）圖形的旋轉是圖形上的每一點在平面上繞某個固定點旋轉固定角度的位置移動；

（2）其中對應點到旋轉中心的距離相等；

（3）旋轉前後圖形的大小和形狀沒有改變；

（4）兩組對應點非别與旋轉中心的連線所成的角相等，都等于旋轉角；

（5）旋轉中心是唯一不動的點。

3、對稱和旋轉的畫法：旋轉要注意：順時針、逆時針、度數

第二單元 因數和倍數

1、整除：被除數、除數和商都是自然數，并且沒有餘數。

整數與自然數的關系：整數包括自然數。

2、因數、倍數：大數能被小數整除時，大數是小數的倍數，小數是大數的因數。

例：12是6的倍數，6是12的因數。

（1）數a能被b整除，那麼a就是b的倍數，b就是a的因數。因數和倍數是相互依存的，不能單獨存在。

（2）一個數的因數的個數是有限的，其中最小的因數是1，最大的因數是它本身。

一個數的因數的求法：成對地按順序找。

（3）一個數的倍數的個數是無限的，最小的倍數是它本身。

一個數的倍數的求法：依次乘以自然數。

（4）2、3、5的倍數特征

1） 個位上是0，2，4，6，8的數都是2的倍數。

2）一個數各位上的數的和是3的倍數，這個數就是3的倍數。

3）個位上是0或5的數，是5的倍數。

4）能同時被2、3、5整除（也就是2、3、5的倍數）的最大的兩位數是90，最小的三位數是120。

同時滿足2、3、5的倍數，實際是求2×3×5=30的倍數。

5）如果一個數同時是2和5的倍數，那它的個位上的數字一定是0。

3 、完全數：除了它本身以外所有的因數的和等于它本身的數叫做完全數。

如：6的因數有：1、2、3（6除外），剛好1 2 3=6，所以6是完全數，小的完全數有6、28等

4：自然數按能不能被2整除來分：奇數、偶數。

奇數：不能被2整除的數。叫奇數。也就是個位上是1、3、5、7、9的數。

偶數：能被2整除的數叫偶數 （0也是偶數） ，也就是個位上是0、2、4、6、8的數。

最小的奇數是1，最小的偶數是0.

關系： 奇數 、- 偶數=奇數

奇數 、- 奇數=偶數

偶數 、-偶數=偶數。

5、自然數按因數的個數來分：質數、合數、1、0四類.

質數（或素數）：隻有1和它本身兩個因數。

合數：除了 1 和它本身還有别的因數（至少有三個因數：1、它本身、别的因數）。

1： 隻有1個因數。“1”既不是質數，也不是合數。

最小的質數是2，最小的合數是4，連續的兩個質數是2、3。

每個合數都可以由幾個質數相乘得到，質數相乘一定得合數。

20以内的質數：有8個（2、3、5、7、11、13、17、19）

100以内的質數有25個：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、 43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97

100以内找質數、合數的技巧：

看是否是2、3、5、7、11、13…的倍數，是的就是合數，不是的就是質數。

關系：奇數×奇數=奇數

質數×質數=合數

6、最大、最小

A的最小因數是：1；

A的最大因數是：A；

A的最小倍數是：A；

最小的自然數是：0；

最小的奇數是：1；

最小的偶數是：0；

最小的質數是：2；

最小的合數是：4；

7、分解質因數：把一個合數分解成多個質數相乘的形式。

用短除法分解質因數 （一個合數寫成幾個質數相乘的形式）。

比如：30分解質因數是：（30=2×3×5）

8、互質數：公因數隻有1的兩個數，叫做互質數。

兩個質數的互質數：5和7

兩個合數的互質數：8和9

一質一合的互質數：7和8

兩數互質的特殊情況：

⑴1和任何自然數互質；

⑵相鄰兩個自然數互質；

⑶兩個質數一定互質；

⑷2和所有奇數互質；

⑸質數與比它小的合數互質；

9、公因數、最大公因數

幾個數公有的因數叫這些數的公因數。其中最大的那個就叫它們的最大公因數。

用短除法求兩個數或三個數的最大公因數 （除到互質為止，把所有的除數連乘起來）

幾個數的公因數隻有1，就說這幾個數互質。

如果兩數是倍數關系時，那麼較小的數就是它們的最大公因數。

如果兩數互質時，那麼1就是它們的最大公因數。

10、公倍數、最小公倍數

幾個數公有的倍數叫這些數的公倍數。其中最小的那個就叫它們的最小公倍數。

用短除法求兩個數的最小公倍數（除到互質為止，把所有的除數和商連乘起來）

用短除法求三個數的最小公倍數（除到兩兩互質為止，把所有的除數和商連乘起來）

如果兩數是倍數關系時，那麼較大的數就是它們的最小公倍數。

如果兩數互質時，那麼它們的積就是它們的最小公倍數。

11、求最大公因數和最小公倍數方法

用12和16來舉例

1、求法一：（列舉求同法）

最大公因數的求法：

12的因數有：1、12、2、6、3、4

16的因數有：1、16、2、8、4

最大公因數是4

最小公倍數的求法：

12的倍數有：12、24、36、48、…

16的倍數有：16、32、48、…

最小公倍數是48

2、求法二：（分解質因數法）

12=2×2×3

16=2×2×2×2

最大公因數是：

2×2=4（相同乘）

最小公倍數是：

2×2×3×2×2= 48（相同乘×不同乘）

第三單元 長方體和正方體

1、由6個長方形（特殊情況有兩個相對的面是正方形）圍成的立體圖形叫做長方體。兩個面相交的邊叫做棱。三條棱相交的點叫做頂點。相交于一個頂點的三條棱的長度分别叫做長方體的長、寬、高。

長方體特點：

（1）有6個面，8個頂點，12條棱，相對的面的面積相等，相對的棱的長度相等。

（2）一個長方體最多有6個面是長方形，最少有4個面是長方形，最多有2個面是正方形。

2、由6個完全相同的正方形圍成的立體圖形叫做正方體（也叫做立方體）。

正方體特點：

（1）正方體有12條棱，它們的長度都相等。

（2）正方體有6個面，每個面都是正方形，每個面的面積都相等。

（3）正方體可以說是長、寬、高都相等的長方體，它是一種特殊的長方體。

相

同

點

不同點

面

棱

長方體

都有6個面， 12 條棱， 8 個頂點。

6個面都是長方形。

（有可能有兩個相對的面是正方形）。

相對的棱的長度都相等

正方體

6個面都是正方形。

12條棱都相等。

3、長方體、正方體有關棱長計算公式：

長方體的棱長總和=（長 寬 高）×4＝長×4 寬×4 高×4

L=（a＋b＋h）×4

長=棱長總和÷4－寬 －高

a=L÷4－b－h

寬=棱長總和÷4－長 －高

b=L÷4－a－h

高=棱長總和÷4－長 －寬

h=L÷4－a－b

正方體的棱長總和=棱長×12

L=a×12

正方體的棱長=棱長總和÷12

a=L÷12

4、長方體或正方體6個面和總面積叫做它的表面積。

長方體的表面積=（長×寬＋長×高＋寬×高）×2

S=2（ab＋ah＋bh）

無底（或無蓋）

長方體表面積= 長×寬＋（長×高＋寬×高）×2

S=2 （ab＋ah＋bh）－ab

S=2（ah＋bh）＋ab

無底又無蓋長方體表面積=（長×高＋寬×高）×2

S=2（ah＋bh）

貼牆紙

正方體的表面積=棱長×棱長×6 S=a×a×6 用字母表示：S= 6a2

生活實際：

油箱、罐頭盒等都是6個面

遊泳池、魚缸等都隻有5個面

水管、煙囪等都隻有4個面。

注意1：用刀分開物體時，每分一次增加兩個面。（表面積相應增加）

注意2：長方體或正方體的長、寬、高同時擴大幾倍，表面積會擴大倍數的平方倍。

（如長、寬、高各擴大2倍，表面積就會擴大到原來的4倍）。

5、物體所占空間的大小叫做物體的體積。

長方體的體積=長×寬×高 V=abh

長=體積÷寬÷高 a=V÷b÷h

寬=體積÷長÷高 b=V÷a÷h

高=體積÷長÷寬 h= V÷a÷b

正方體的體積=棱長×棱長×棱長

V=a×a×a = a3

讀作“a的立方”表示3個a相乘，（即a·a·a）

長方體或正方體底面的面積叫做底面積。

長方體（或正方體）的體積=底面積×高

用字母表示：V=S h（橫截面積相當于底面積，長相當于高）。

注意：一個長方體和一個正方體的棱長總和相等，但體積不一定相等。

6、箱子、油桶、倉庫等所能容納物體的體積，通常叫做他們的容積。

固體一般就用體積單位，計量液體的體積，如水、油等。

常用的容積單位有升和毫升也可以寫成L和ml。

1升=1立方分米

1毫升=1立方厘米

1升=1000毫升

(1L = 1dm3 1ml = 1cm3)

長方體或正方體容器容積的計算方法，跟體積的計算方法相同。

但要從容器裡面量長、寬、高。（所以，對于同一個物體，體積大于容積。）

注意：長方體或正方體的長、寬、高同時擴大幾倍，體積就會擴大倍數的立方倍。

（如長、寬、高各擴大2倍，體積就會擴大到原來的8倍）。

*形狀不規則的物體可以用排水法求體積，形狀規則的物體可以用公式直接求體積。

排水法的公式：

V物體 =V現在－V原來

也可以 V物體 =S×(h現在- h原來)

V物體 =S×h升高

8、【體積單位換算】

大單位×進率=小單位

小單位÷進率=大單位

進率： 1 立方米 ＝ 1000 立方分米＝ 1000000 立方厘米（立方相鄰單位進率1000）

1立方分米＝1000立方厘米＝1升＝1000毫升

1 立方厘米＝ 1 毫升

1 平方米=100平方分米=10000平方厘米

1 平方千米 =100 公頃 =1000000 平方米

注意：長方體與正方體關系

把長方體或正方體截成若幹個小長方體（或正方體）後，表面積增加了，體積不變。

重量單位進率，時間單位進率，長度單位進率

大單位×進率=小單位

小單位÷進率=大單位

長度單位：

1千米 =1000 米 1 分米=10 厘米

1厘米=10毫米 1分米=100毫米

1米=10分米=100厘米=1000毫米

（相鄰單位進率10）

面積單位：

1平方千米=100公頃

1平方米=100平方分米

1平方分米=100平方厘米

1公頃=10000平方米（平方相鄰單位進率100）

質量單位：

1噸=1000千克

1千克=1000克

人民币：

1元=10角 1角=10分 1元=100分

第四單元 分數的意義和性質

1、分數的意義：一個物體、一物體等都可以看作一個整體，把這個整體平均分成若幹份，這樣的一份或幾份都可以用分數來表示。

2、單位“1”：一個整體可以用自然數1來表示，通常把它叫做單位“1”。（也就是把什麼平均分什麼就是單位“1”。）

3、分數單位：把單位“1”平均分成若幹份，表示其中一份的數叫做分數單位。如4/5的分數單位是1/5。

4 、分數與除法

A÷B=A/B（B≠0，除數不能為0，分母也不能夠為0） 例如：4÷5=4/5

5、真分數和假分數、帶分數

1、真分數：分子比分母小的分數叫真分數。真分數<1。

2、假分數：分子比分母大或分子和分母相等的分數叫假分數。假分數≧1

3、帶分數：帶分數由整數和真分數組成的分數。帶分數＞1.

4、真分數＜1≤假分數

真分數＜1＜帶分數

6、假分數與整數、帶分數的互化

（1）假分數化為整數或帶分數，用分子÷分母，商作為整數，餘數作為分子， 如：

（2）整數化為假分數，用整數乘以分母得分子 如：

（3）帶分數化為假分數，用整數乘以分母加分子，得數就是假分數的分子，分母不變，如：

（4）1等于任何分子和分母相同的分數。如：

7 、分數的基本性質：

分數的分子和分母同時乘以或除以相同的數（0除外），分數的大小不變。

8、最簡分數：分數的分子和分母隻有公因數1，像這樣的分數叫做最簡分數。

一個最簡分數，如果分母中除了2和5以外，不含其他的質因數，就能夠化成有限小數。反之則不可以。

9、約分：把一個分數化成和它相等，但分子和分母都比較小的分數，叫做約分。

如：24/30=4/5

10、通分：把異分母分數分别化成和原來相等的同分母分數，叫做通分。

如： 2/5和1/4 可以化成8/20和5/20

11、分數和小數的互化

（1）小數化為分數：數小數位數。一位小數，分母是10；兩位小數，分母是100……

如：

0.3=3/10 0.03=3/100 0.003=3/1000

（2）分數化為小數：

方法一：把分數化為分母是10、100、1000……

如：3/10=0.3 3/5=6/10=0.6

1/4=25/100=0.25

方法二：用分子÷分母

如：3/4=3÷4=0.75

（3）帶分數化為小數：

先把整數後的分數化為小數，再加上整數

12、比分數的大小：

分母相同，分子大，分數就大；

分子相同，分母小，分數才大。

分數比較大小的一般方法：同分子比較；通分後比較；化成小數比較。

13、分數化簡包括兩步：一是約分；二是把假分數化成整數或帶分數。

1/2 = 0.5 1/4 = 0.25 3/4 = 0.75

1/5 = 0.2 2/5 = 0.4 3/5 = 0.6

4/5=0.8

1/8 =0.125 3/8 =0.375 5/8= 0.625 7/8 =0.875 1/20 =0.05 1/25 =0.04

14、兩個數互質的特殊判斷方法：

① 1和任何大于1的自然數互質。

② 2和任何奇數都是互質數。

③ 相鄰的兩個自然數是互質數。

④ 相鄰的兩個奇數互質。

⑤ 不相同的兩個質數互質。

⑥當一個數是合數，另一個數是質數時（除了合數是質數的倍數情況下），一般情況下這兩個數也都是互質數。

15、求最大公因數的方法：

① 倍數關系：最大公因數就是較小數。

② 互質關系：最大公因數就是1

③ 一般關系：從大到小看較小數的因數是否是較大數的因數。

16、分數知識圖解：

第五單元 分數的加減法

1、分數數的加法和減法

（1） 同分母分數加、減法 （分母不變，分子相加減）

（2） 異分母分數加、減法 （通分後再加減）

（3） 分數加減混合運算：同整數。

（4） 結果要是最簡分數

2、帶分數加減法:

帶分數相加減，整數部分和分數部分分别相加減，再把所得的結果合并起來。

附：具體解釋

（一）同分母分數加、減法

1、同分母分數加、減法：

同分母分數相加、減，分母不變，隻把分子相加減。

2、計算的結果，能約分的要約成最簡分數。

（二）異分母分數加、減法

1、分母不同，也就是分數單位不同，不能直接相加、減。

2、異分母分數的加減法：

異分母分數相加、減，要先通分，再按照同分母分數加減法的方法進行計算。

（三）分數加減混合運算

1、分數加減混合運算的運算順序與整數加減混合運算的順序相同。

在一個算式中，如果有括号，應先算括号裡面的，再算括号外面的；如果隻含有同一級運算，應從左到右依次計算。

2、整數加法的交換律、結合律對分數加法同樣适用。

第六單元 統計與數學廣角

1、衆數： 一組數據中出現次數最多的一個數或幾個數，就是這組數據的衆數。

衆數能夠反映一組數據的集中情況。

在一組數據中，衆數可能不止一個，也可能沒有衆數。

2、中位數：

（1）按大小排列；

（2 ）如果數據的個數是單數，那麼最中間的那個數就是中位數；

（3）如果數據的個數是雙數，那麼最中間的那 兩個數的平均數 就是中位數。

3、平均數的求法：

總數÷總份數=平均數

4、一組數據的一般水平：

（1）當一組數據中沒有偏大偏小的數，也沒有個别數據多次出現，用平均數表示一般水平。

（2）當一組數據中有偏大或偏小的數時，用中位數來表示一般水平。

（3）當一組數據中有個别數據多次出現，就用衆數來表示一般水平。

5、平均數、中位數和衆數的聯系與區别: ① 平均數： 一組數據的總和除以這組數據個數所得到的商叫這組數據的平均數。 容易受極端數據的影響，表示一組數據的平均情況。 ② 中位數： 将一組數據按大小順序排列，處在最中間位置的一個數叫做這組數據的中位數 。 它不受極端數據的影響，表示一組數據的一般情況。 ③ 衆數： 在一組數據中出現次數最多的數叫做這組數據的衆數。 它不受極端數據的影響，表示一組數據的集中情況。

5、統計圖：我們學過——條形統計圖、複式折線統計圖。

條形統計圖優點：條形統計圖能形象地反映出數量的多少。

折線統計圖優點：折線統計圖不僅能表示出數量的多少，還能反映出數量的變化情況。

注：① 畫圖時注意：

一“點”（描點）、 二“連”（連線）、三“标”（标數據）。

②要用不同的線段分别連接兩組數據中的數。

6、 打電話：

規律——人人不閑着，每人都在傳。（技巧：已知人數依次 × 2）

（1）逐個法：所需時間最多。

（2）分組法：相對節約時間。

（3）同時進行法：最節約時間

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