大家好！這節課的内容是一隻闖蕩幾何世界的螞蟻，經曆太多思考追求，這次談談勾股定理的應用之空間最短路徑問題。

在一個平面内，如果要從A點走到B點，怎麼走路線最短呢？你一定會說，太簡單了，"兩點之間線段最短"嘛！的确如此，超級課堂在之前的視頻中也着重強調過這一點。在一個平面内，A點到B點的最短路徑就是線段AB。不過我們還會經常遇到另外一種情況，當運動路線不是平面，而是某個幾何體的外表面的情況。這種題目被稱為"空間最短路徑問題"，而且都會涉及一隻螞蟻，這隻螞蟻特别的辛苦，一直闖蕩于幾何世界，按出題老師的意圖從一個點爬到另一個點，甚至爬N圈，永不停歇。這節課就帶你具體研究一下這類題目的解法。

我們先來看一個最簡單的例題：

如圖，邊長為1的正方體中，螞蟻君從A頂點出發沿着正方體的外表面爬到B頂點的最短路程是 ．

我螞蟻君不是超人，不能從立方體中間"穿過"，隻能沿着立方體外表面運動。對于"空間距離問題"，千年不變的解題思想就是：把空間問題轉化為平面問題，萬年不變的具體操作就是将幾何體外表面展開。我們把正方體展開，畫出AB點的位置，連接AB。你會發現類似這樣的路線一共有6條，我們把正方體的六個面稱為上下左右前後，這六條路線的爬行順序依次是"前上"、"前右"、"左上"、"左後"、"下右"或"下後"。但這六條路線的長度都是一樣的，展開後，都是這麼一個矩形的對角線。利用勾股定理，求得長度為√5，所以螞蟻從A到B爬行的最短距離是√5。

路途坎坷，經曆不都是方方正正，苦逼螞蟻君又經曆如下曆程的磨難：

1．（2018秋•錦江區期中）邊長分别為4cm，3cm兩正方體如圖放置，點P在E₁F₁上，且E₁P＝1/3E₁F₁，苦逼螞蟻君如果要沿着長方體的表面從點A爬到點P，需要爬行的最短距離是____ cm．

求出兩種展開圖PA的值，比較即可判斷,如圖，有兩種展開方法：

2.如圖所示，一棱長為3cm的正方體，把所有的面均分成3×3個小正方形，其邊長都為1cm，假設苦逼螞蟻君從下底面點A沿表面爬行至側面的B點，最少要爬______ cm．

把此正方體的點A所在的面展開，然後在平面内，利用勾股定理求點A和B點間的線段長，即可得到螞蟻爬行的最短距離．在直角三角形中，一條直角邊長等于5，另一條直角邊長等于2，利用勾股定理可求得．

因為爬行路徑不唯一，故分情況分别計算，進行大、小比較，再從各個路線中确定最短的路線．

所以最短路徑長為5cm，故答案為：5.

除了正方體的表面距離問題，圓柱體的表面距離問題也是很常見的. 比如：

3. 如圖，一圓柱高8cm，底面半徑為6/πcm，又是苦逼螞蟻君從點A爬到點B處吃食，要爬行的最短路程是多少？

同樣的方法，将圓柱體外表面展開是一個長方形。它的寬是圓柱體的高8cm。長是底面圓的周長12cm。沿圓柱表面運動就相當于沿這個長方形表面運動，連接AB，就是我們要求的長度。而右上角的B點恰好是邊的中點，AD＝6cm，BD＝8cm，在Rt△ADB通過勾股定理就能馬上算出最短距離AD=10 cm.

4．（2018秋•寶安區期中）如圖，已知圓柱的底面周長為6，高AB＝3，苦逼螞蟻君在圓柱表面爬行，從C點爬到對面的A點，然後再沿另一面爬回C點，則苦逼螞蟻君爬行的最短路程為 _______．

把圓柱側面展開，展開圖如右圖所示，點A、C的最短距離為線段AC的長．在RT△ADC中，∠ADC＝90°，CD＝AB＝3，AD為底面半圓弧長，AD＝3,所以AC＝3√2，∴從C點爬到A點，然後再沿另一面爬回C點，則小蟲爬行的最短路程為2AC＝6√2，

5. （2018秋•金牛區校級期中） 如圖，圓柱形容器高為6cm，底面周長為6cm，在杯内壁離杯底2cm的點B處有一滴蜂蜜，此時苦逼螞蟻君正好在杯外壁，在甜蜜回憶基礎上，離杯上沿2cm與蜂蜜相對的點A處，苦逼螞蟻君很想從外壁A處到達内壁B處的以最短距離達到，則最短距離為 ______．

将杯子側面展開，建立A關于EF的對稱點A′，根據兩點之間線段最短可知A′B的長度即為所求．将杯子側面展開，作A關于EF的對稱點A′，連接A′B，則A′B即為最短距離，

總結一下，求空間最短路徑長度的解決步驟：第一步确定最短路徑，方法是将運動所經過的外表面展開，最短路徑就是在展開平面内兩點間的線段；第二步求線段長度，方法是利用勾股定理求斜邊。

剛才我們說過了立方體表面的最短路徑問題，它的六種路線是完全一樣的。下面我們把立方體換成棱長不等的長方體，這時情況會變得稍稍複雜一些，比如這道題：

6.如圖，地上放着一個長、寬、高分别為50cm、40cm、30cm的箱子，位于角A處的苦逼螞蟻君發現了位于角B處的一隻蒼蠅，問苦逼螞蟻君沿着箱面怎樣爬才能使它到B處的路程最短，最短路程是多少？

與立方體一樣，苦逼螞蟻君同樣有六種路線："前上"、"前右"、"左上"、"左後"、"下右"或"下後"，每種選擇都要經過兩個長方形。但題目并沒有指定選 擇哪種路線，而長、寬、高又各不相等，所以這六種路線的長度就不再相等了。由于長方體相對的面全等，于是我們可以把這六種路線分成三類："前上"與"下後"一類， "前右"與"左後"一類，"左上"與"下右"一類， 比較這三類的結果，這種選擇的路程最短，

7．（2018秋•新吳區校級期中）在一個長為8分米，寬為5分米，高為7分米的長方體上，截去一個長為6分米，寬為5分米，深為2分米的長方體後，得到一個如圖所示的幾何體．苦逼螞蟻君要從該幾何體的頂點A處，沿着幾何體的表面到幾何體上和A相對的頂點B處吃食物，那麼它需要爬行的最短路徑的長是 _____分米．

根據題意把圖形的側面展開，如圖所示，利用勾股定理求解即可．

以上幾個例子，在表面走的距離都不夠長，如果在繞表面運動不止一圈的話又會是什麼情況呢？螞蟻君已經被玩壞了，讓它休息一下，這次我們在幾何體表面纏繞細線。

8.如圖，長方體的底面邊長分别為1cm和3cm，高為6cm．如果用一根細線從點A開始經過4個側面纏繞一圈到達點B，那麼所用細線最短需要______ cm；如果從點A開始經過4個側面纏繞n圈到達點B，那麼所用細線最短需要______ cm．

仔細想想，這根細線的總長度其實就是A和B的空間最短路徑長度。所以我們依然要把長方體的側面展開。由于題目已經指定了路線選擇：前右後左，所以展開圖中長方形的形狀就是固定的。這是繞了一圈的情況，那麼繞了n圈的展開圖該怎麼畫呢？我們可以找找規律：如果隻繞1圈，展開圖就是4個長方形，一邊長就是3 1 3 1，8cm；如果繞2圈，那麼會經曆兩次"前右後左"的過程，所以展開圖就是8個長方形，一邊長就是16cm……繞n圈就是經曆n次"前右後左"的過程，展開圖就是4n個長方形，一邊長就是8ncm。就像圖中這樣的一個很長很長的長方形。

将長方體展開，連接A、B，根據兩點之間線段最短，

有了前面的基礎，我們最後再來解決一個平面與空間結合的最短路徑問題，讓螞蟻君繼續上場：

9.（2018秋•三明期末）如圖，ABCD是長方形地面，長AB＝10m，寬AD＝5m，中間豎有一堵磚牆高MN＝1m．螞蟻君從點A爬到點C，它必須翻過中間那堵牆，則它至少要走_____ m．

我們可以把這個木條看成矩形場地凸起的一段。螞蟻會經過長方體的三個側面，我們便把這三個側面展開，相當于矩形場地ABCD的長AB被"拉伸"了一部分，拉伸的長度就是三個側面長方形的寬。

連接AC，利用勾股定理求出AC的長，再把中間的牆平面展開，使原來的矩形長度增加而寬度不變，求出新矩形的對角線長即可．

如圖所示，将圖展開，圖形長度增加2MN，

原圖長度增加2米，則AB＝10 2＝12m，

連接AC，∵四邊形ABCD是長方形，AB＝12m，寬AD＝5m，

∴螞蚱從A點爬到C點，它至少要走13m的路程．

故答案為：13．

10.如圖是一個三級台階，它的每一級的長、寬、高分别為5dm，3dm，和1dm，螞蟻君想嘗試上台階尋找美味，想從點A，想到點B去吃食物，請你計算，這隻螞蟻從點A爬到點B走得最短路程是多少？

有了上面經驗，将台階展開得到的是一個矩形，螞蟻君要從B點到A點的最短距離，便是矩形的對角線，利用勾股定理即可解出答案．

将台階展開，如圖，因為AC＝3×3 1×3＝12，BC＝5，所以AB²＝AC² BC²＝169，所以AB＝13（dm），所以螞蟻爬行的最短線路為13dm．

你看，隻要你清楚空間最短路徑問題的解決方法，遇到這種看似複雜的平面、空間混合問題也可以輕松搞定了。無論題型怎麼變化，你隻要記住把幾何體表面展開，化空間為平面就能秒殺任何題目了。

這節課就講到這裡，我們來總結一下，主要研究了空間最短路徑的解決思想：把空間問題轉化為平面問題，具體操作就是将幾何體外表面展開。求最短路徑的方法是利用勾股定理求斜邊。

在題目中要注意以下三點：

1、遇到長方體表面的最短路徑問題時，如果題目沒有指定路線的選擇，要注意分類讨論；

2、如果沿幾何體表面運動n圈，相當于經曆n次循環，展開圖中的長要擴大為n倍；

3、平面、空間的混合問題隻需要把經曆的幾何體表面展開，與平面連接在一起便可以輕松解決。

立體圖形的螞蟻爬行問題，這課堂已經把考試會遇到的幾種情況都講解完畢了。以後你再遇到這種題目，就能完全理解螞蟻的心思，迅速找到解題的方法，爬到勝利的終點！

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