本文為“第三屆數學文化征文比賽

HPM視角下《等腰三角形的性質》

課堂實錄

作者: 陳龍

作品編号：058

一、 創設情境，引入課題

師：PPT展示如下圖片。

圖中的屋頂給我們什麼樣的幾何圖形的形象？

生：等腰三角形。

師：我們再來看看這塊古羅馬人的墓碑，同學們能猜測出墓主人的身份嗎？

我聽到有同學們說我們如果能翻譯出墓碑上那些字母可能就可以知道墓主是誰了，很棒！其實，雖然我們看不懂他的墓志銘，但有沒有同學注意到這塊墓碑的頂端部分是很有特征的？（生在老師的引導下把注意力集中到墓碑的頂端）

生1：我觀察到這塊墓碑的頂端是一個等腰三角形和鉛垂線的組合。

生2：我們可以猜測這個墓主肯定從事與幾何和測量相關的工作。說不定生前他是個偉大的數學家。

師：同學們的觀察力和推理能力真強！據考證，這塊墓碑的主人生前是一位土地丈量員。想必，他一定深深的以自己掌握幾何知識，當上土地丈量員為豪。所以，他将自己的工具銘刻在自己的墓碑上。事實上，如果我們把這塊墓碑的頂端的幾何圖形抽象出來，就得到右邊的圖形。這個由一個等腰三角形和懸挂在頂點處一條鉛錘線組合起來的圖形。它是一種工具，叫做水準儀。是非常古老的一種工具。在我國，勤勞智慧的中國古代勞動人民同樣也在就掌握了它的工作原理，并運用于生産生活的實際。工匠們在蓋房子的時候，可以用它來測房梁是否水平。你們知道其中的道理嗎？不懂？那你們想知道水準儀的工作原理嗎？學完今天的課程就明白了！好，讓我們走入今天的探索之旅，一起去探究等腰三角形的性質吧！

師：在黑闆上寫上課題：等腰三角形的性質

設計意圖：從學生的生活實際和知識水平出發，感受生活中等腰三角形，通過古羅馬的墓碑抽象出來的水準儀設問，滲透數學文化，引起學生好奇心，激發學生的求知欲和解決問題的興趣．

二、動手操作，探索新知

師：按照以下操作，看我們能得到一個怎樣的幾何圖形？為什麼？你能說明理由嗎？

生：得到等腰三角形。

生：理由是根據等腰三角形的概念：有兩邊相等的三角形叫作等腰三角形。

師：相等的兩邊叫作腰，另一邊叫作底邊，兩腰的夾角叫作頂角，底邊和腰的夾角叫作底角。

設計意圖：讓學生利用軸對稱性剪出等腰三角形，複習等腰三角形的相關概念，為等腰三角形的性質探究作準備。

師：仔細觀察自己剪出的等腰三角形紙片，你能發現這個等腰三角形有什麼特征嗎?

生：獨立思考（師巡視指導）。

師生活動：學生獨立思考後嘗試着概括自己剪出的等腰三角形紙片的特征，并交流彙報。學生如果不能發現結論，或者對結論概括得不全面，教師在巡視中作如下提示：把剪出的等腰三角形紙片沿折痕對折，找出其中重合的線段和角。

設計意圖：讓學生首先從一個等腰三角形開始研究，發現其特殊性。

師追問：你們每個人剪下的等腰三角形紙片大小不同，形狀也不同，是否都具有上述所概括的特征?

師生活動：學生相互比較，小組合作交流，共同探究歸納，完成下表

生1：我發現等腰三角形ABC關于折痕AD成軸對稱。

生2：我還發現折痕就是等腰三角形的對稱軸。所以沿對稱軸對折，兩邊能完全重合，很直觀就能找到重合的角和線段。

學生結論：

師：由上面這些重合的角和線段，除了兩腰相等外，你還能發現等腰三角形有哪些特殊的性質？大膽說出你的猜想。

生1：兩個底角相等

生2：因為BD=CD，所以AD是三角形的中線。

生3：因為∠CAD=∠BAD，所以AD是三角形的頂角的角平分線。

生4：因為∠ADC=∠ADB=90^。，所以AD是三角形的底邊上的高。

生5：我們經過讨論還發現等腰三角形的折痕很特殊：既是頂角的平分線，又是底邊的中線和高。

師生對以上歸納進行完善，得到等腰三角形的兩個性質：

性質1：等腰三角形的兩個底角相等；

性質2：等腰三角形頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合。

設計意圖：通過感性材料，讓學生在動手操作的過程中發現等腰三角形的共同的、本質的特征，猜想歸納出三角形的性質，在這個過程中形成感性認識，重視知識形成過程，培養學生自主探究的學習方法。

師：利用實驗操作的方法，我們發現并概括出等腰三角形的性質1和性質2，對于性質1，哪位同學可以說說這個命題的題設和結論各是什麼？

生：題設是：一個三角形是等腰三角形；結論是：它的兩個底角相等。

師：你會畫出圖形，并用符号語言寫出已知和求證嗎？

生：已知：如圖，△ABC 中，AB =AC．

求證：∠B =∠C．

師：很棒！我們學過的證明角和角相等有哪些方法？

生：兩直線平行，同位角相等，内錯角相等；全等。

師：結合所畫的圖形及剛才的操作（對折等腰三角形紙片），你想要用什麼方法證明∠B=∠C？

生：取底邊的中點D,連接AD,構造全等三角形。

生：我覺得可以作底邊上的高，根據“HL”也能證明兩個三角形全等。

生：我作的是頂角的平分線，根據“SAS”可證證明兩個三角形全等。

師：三位同學的方法都正确。我們以作底邊上的中線為例，請同學們說說證明的方法。

師生活動：學生獨立完成。教師巡視，個别指導。

教師闆演示範。

已知：如圖，△ABC中，AB=AC，BD=CD．

求證：∠B =∠C

證明：在 △ABD和△ACD中

∴ △ABD≌△ACD（SSS）．

∴∠B =∠C

師：還有其他的方法可以證明嗎？

生：三種方法

師生活動：學生闆演（選取一種喜歡的方法）教師有意識選擇不同方法的學生上台來闆演展示。

設計意圖：此處讓學生經曆完整的命題證明過程，會進行文字語言、符号語言、圖形語言之間的轉換．能從操作中發現輔助線的添加方法，體會輔助線的添加與解決問題的相關性． 同時，教師闆演示範，規範學生書寫格式後讓學生多種方法證明，感受不同的輔助線指向相同的結果，初步感受“三線合一”為性質2的理解埋下伏筆。

師：這樣我們就證明了性質（等邊對等角）

由以上全等三角形證明過程，你還會得到什麼結論？

生：∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90^。

師：上述三種證明方法中，所做的輔助線有什麼特點？

生：都是折痕AD。

師：好！現在我們來齊讀下性質

生：齊讀性質

師：大家發現了什麼？

生：原來性質就是性質的拓展！它們的本質都一樣！證明了性質就證明了性質！

師：那如何理解“三線合一”呢？

生：如果是等腰三角形頂角平分線，那麼這條線也是底邊上的中線、底邊上的高。

生：如果是等腰三角形底邊上的中線，那麼這條線也是頂角平分線、底邊上的高。

生：如果是等腰三角形底邊上的高，那麼這條線也是底邊上的中線、頂角平分線。

師：非常棒！用幾何語言如何表示：（學生回答，教師闆書）

①∵AB=AC，BD=CD

∴AD平分∠BAC，AD⊥BC

②∵AB=AC，AD平分∠BAC

∴BD=CD，AD⊥BC

③∵AB=AC，AD⊥BC

∴AD平分∠BAC，BD=CD

設計意圖：引導學生發現等腰三角形共同的、本質的特征。并通過證明，進一步培養學生抽象概括能力和初步的邏輯推理能力；讓學生真正理解“三線合一”的含義，會将“三線合一”分解成三個命題，體會等腰三角形性質2的内容實質。

三、曆史回望，究根溯源

師生活動：教師PPT展示等邊對等角的曆史上著名的證明方法，學生欣賞品味。（以下均以PPT展示，以欣賞為主。）

師：知道嗎？等腰對等角是歐幾裡得《幾何原本》第一章第五個命題：

原命題為：“在等腰三角形中，兩底角彼此相等；并且若向下延長兩腰，則在底以下的兩個角也彼此相等。

若用現代符号表示，該命題的陳述及證法如圖所示：

設ABC是一個等腰三角形，AB=AC，延長AB，AC得BD，CE，

則∠ABC=∠ACB，∠CBD=∠CBE.

證：在BD上任取一點F，在AE上截AG=AF(命題3)，連接FC和GB，

∵AF=AG，AB=AC，∠FAG為公共角

∴△AFC≌AGB(命題4)

∴FC=GB,∠ACF=ABG,∠AFC=∠AGB.

又∵AF=AG,AB=AC

∴BF=CG

又∵∠AFC=∠AGB,FC=GB

△BFC≌△CGB(命題4)

∴∠FBC=∠GCB.∠BCF=∠CBG

又∵∠ABG=∠ACF

∴∠ABC=∠ACB

師：此命題為歐幾裡得《幾何原本》第一章的第五個命題，也即整本著作的第五個命題。據說，中世紀時，歐洲數學水平很低，學生初讀《原本》，學到第五命題“等腰三角形底角必相等”時就覺得很困難，因此這個命題被谑成為“驢橋定理”( asses’ bridge)，意思是笨蛋過不去的難關；也有人推測這個名字來源于歐幾裡得的作圖，很像最簡單的木桁架橋。

師 ：除了歐幾裡得，曆史上還有衆多名家對等腰對等角進行了研究。等腰對等角還有其它多種證法，我們一同來欣賞下曆史上那些數學大咖們的風采吧。

帕普斯證法欣賞

帕普斯( Pappus，公元300-350前後)：古希臘數學家，公元4世紀。

曾對“等腰對等角”進行過證明，其證明方法很巧妙，将△ABC看作兩個三角形，一個是△ABC，另一個是翻折後的△ACB。

∵AB=AC，AC=AB，∠BAC=∠CAB，

∴△ABC≌△ACB(SAS)，

∴∠ABC=∠ACB。

普羅克拉斯證法欣賞

普羅克拉斯：( Proclus，公元410-公元485) 公元5世紀。也曾對“等邊對等角”進行過證明(圖2)，他的證明方法與歐幾裡得類似，也是利用三角形全等的“邊角邊”判定方法，但普羅克拉斯不通過延長兩腰AB和AC，而是直接在兩腰AB和AC上取點E和點D使得AE=AD，然後聯結EC、DB，類似地，再利用“邊角邊”兩次證明三角形全等。

設計意圖：了解數學史，滲透數學文化，感受數學課的人文精神和教育價值，借此激發學生學習的興趣和熱情。

四、運用新知，解決問題

師：現在你能解釋水準儀是怎麼幫助工匠們測房梁是否水平？

生：把當鉛錘線經過底邊中點時，房梁是水平的．

師：為什麼？以誰為參照呢？

生：以水平線為參照物，我們可以從這個實際問題中抽象出如上圖所示的數學模型。所以本題就轉化成求證BC平行于直線l，利用等腰三角形的性質2，就搞定了。

師：真棒！水準儀是非常古老的物件，事實上，至今，世界上很多地方仍然在使用它。它的工作原理就是我們今天所學的等腰三角形的“三線合一”。我國古代勞動人民真的是勤勞而智慧的。

設計意圖：學以緻用，介紹曆史上水準儀的用途，一方面呼應課堂的引入，另一方面讓學生感受等腰三角形的性質在生活實際中的應用，體會數學來自生活，又服務于生活的新課标理念。同時，感受我國古代勞動人民的智慧，提升文化自信和民族自豪感。

五、課堂練習，能力提升

1．已知：在△ABC中，AB=AC，∠B=80°。求∠C和∠A的度數。

師：這裡∠B是---？

生：△ABC的底角？

師：怎麼知道的？

生1：已知條件

生2：畫出圖形，一看就知道。

學生獨立完成。

變式訓練：

（1）已知，在等腰△ABC中，∠B=80°，求∠C和∠A的度數。

師：這道題與上題的區别在哪裡？

生：沒有告訴我們∠B是頂角還是底角，需要分類讨論。（讓學生嘗試獨立完成，再集體講評，指導學生可以自己畫圖幫助理解。）

已知，在等腰△ABC中，∠B=100°，求∠C和∠A的度數。

師：這道題需要讨論嗎？為什麼？

生：不需要，因為底角不會超過90°

生：獨立完成。

總結：等腰三角形中，知道任意一個角的度數，可求另外兩個。當已知條件沒有明确給出的角是銳角且不知道是頂角還是底角時，需分類讨論.

2．如圖，已知AB=AC，AD是△ABC的中線，∠B = 50°，則∠BAD = ．

生：利用三線合一，可知，AD還是△ABC的高。

設計意圖：通過典型例題的變式，培養學生的發散性思維，滲透分類讨論的數學思想。教師通過适當的“引”，來啟發學生主動地“探”，使師生雙邊活動産生“共振”，和諧發展。

六、歸納小結， 拓展提升

師：同學們，本節課有什麼收獲呢？

生1：等腰三角形的性質有：“等邊對等角”、“三線合一”

生2：我覺得數學知識經常通過動手操作得出來。

生3：了解了數學史上那麼多數學家對等腰三角形性質的探索和證明，大開眼界！

生4：還知道了水準儀的工作原理，感覺自己棒棒哒！

……

七．分層作業，鞏固提升

（1）A組：

1. 在等腰△ABC中，∠A=60°，求∠C和∠B的度數。

2.如圖，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點D，過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，若BE=3，求CF的長

設計意圖：性質1，2的簡單應用，更好地理解性質,夯實基礎。同時，為下一節，研究等邊三角形留下伏筆。（全班都要完成。）

B組

1．如圖所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，AD平分∠BAC，且AD＝4，BC＝6，若點P在邊AC上移動，求 BP的最小值．

設計意圖：性質2的簡單應用，在A組的基礎上略有提升拓展，幫助學生。（供中等以上層次的學生選做。）

C組.變式：

證明：底邊上到兩條腰距離相等的點在頂角的平分線所在的直線上.

設計意圖：本節課學生剛接觸文字證明題,對三種語言之間的轉化還不是非常熟練,因此設置這道題,既鞏固了文字證明題的解題方法,也是對練習的拓展與變式.供學有餘力學生選做。

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