要培養運算能力，就要掌握簡化立體幾何運算的方法，那麼怎樣簡化立體幾何運算呢？

一、一般問題特殊化

有些選擇題或填空題，若根據題意直接解答運算很繁，把一般問題特殊化，可簡化運算過程。

例1. 正四棱錐相鄰兩側面形成的二面角為，則的範圍是

A.

B.

C.

D.

解：如圖1，正四棱錐S－ABCD，過A作AE⊥SB于E”，連CE。

圖1

由三角形全等容易證得∠AEC是二面角的平面角。考慮特殊位置V，當S無限接近O點時，接近π；當S距平面ABCD無限遠時，α接近

，α的範圍是。故選D。

二、整體估算

有些立體幾何選擇題，若直接解答十分繁雜，若采用整體估算則十分簡單。

例2. 如圖2，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為3的正方形，EF∥AB，

，EF與面ABCD的距離為2，則多面體EF－ABCD的體積是

圖2

A.

B. 5 C. 6 D.

解：連結EB、EC得四棱錐E－ABCD，它的高h＝2，S_ABCD＝9，四棱錐E－ABCD的體積

。

因為

，即

。故應選D。

三、用公式求二面角

一個平面上的圖形面積為S_原，它的另一個面上的射影的圖形面積為S_射，這兩個面的夾角為α，則有

，即

。利用這公式求二面角的大小，不需要找二面角的棱确定二面角的平面角，顯然可以簡化運算。

例3. 正方體

中，E是BC的中點，求平面

與平面ABCD所成二面角的大小。

解：如圖3，連結DB、DE，因為

都垂直于平面ABCD，則△DBE是△D₁B₁E在平面ABCD上的射影。

圖3

設正方體的棱長為1，易知

。

所以

。

設所求二面角為α，則

，故α＝

。即平面與平面ABCD所成的二面角為。

四、運用三棱錐的體積求點面距離

求點面距離的一般思路是過點向平面作垂線，确定垂足位置和表示距離的線段長，這樣作解答難，運算繁。如果構造三棱錐，把所求距離轉化為三棱錐的高，通過三棱錐的體積求點面距離，可簡化運算。

例4. ABCD是邊長為4的正方形，E、F分别是AB、AD的中點，GB垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC＝2，求點B到平面EFC的距離。

解：如圖4，取EF的中點O，連接GB、GO、CD、FB構造三棱錐B－EFG。

圖4

設點B到平面EFG的距離為h，BD＝

，EF

，CO＝

。

。

而GC⊥平面ABCD，且GC＝2。由

，得

·

GC，所以解得

。

故點B到平面EFG的距離是

。

構造以點B為頂點，△EFG為底面的三棱錐是解此題的關鍵，利用同一個三棱錐的體積的唯一性列方程是解這類題的方法，從而簡化了運算。

五、變換圖形的位置

根據待解題目給出圖形求解，有時運算很繁。若變換圖形的位置，便于求解，可簡化運算。

例5. 已知三棱錐V－ABC的三個側面VAB、VBC、VAC互相垂直，且其面積依次為6、4、3。求此三棱錐的體積。

圖5

解析：根據已知條件用左圖求三棱錐V－ABC的體積，解答難，運算繁。若改變為右圖，求三棱錐A－VBC的體積，可簡化運算。

因為平面VAB、VBC、VAC兩兩互相垂直所以VA、VB、VC互相垂直，從而VA⊥平面VBC。

設VA＝x，VB＝y，VC＝z，則xy＝12，yz＝8，zx＝6。三式相乘，得

，因

，所以

。

。

六、運用分割法

求某種幾何體的體積，直接求解運算很繁。若注意用分割法，則可簡化運算。

例6. 如圖6，三棱錐P－ABC中，已知PA⊥BC，PA＝BC＝l，PA、BC的公垂線段ED＝h，求三棱錐P－ABC的體積。

圖6

解：連BE、EC。因為PA⊥BC，PA⊥ED且BC

ED＝D，所以PA⊥平面BEC。

因

，所以

，

·PE＝

。

七、運用等積代換

有些求體積問題，根據公式直接求解，運算很繁，又需要許多證明，若通過等積代換，可簡化運算。

例7. 斜三棱柱的一個側面面積為S，這個側面與它的對棱的距離為a，求這個棱柱的體積。

解：如圖7，設斜三棱柱

中，側面BB”C”C面積為S，與它的對棱A”A間的距離為a。

圖7

連C”A、C”B，則有

。

調查頂點和底面，有三棱錐A－BC”C，于是

。

因為A”A∥B”B，B”B

平面BB”C”C，所以A”A∥平面BB”C”C。

由此可知，A”A到側面BB”C”C的距離a等于三棱錐A－BC”C的高。

因為

所以

。

所以

。

八、倍角α為自變量使問題三角化

涉及立體幾何的最值問題，若設線段的長度為自變量常出現根式運算；如果設角為自變量，可避免根式運算，簡化解題過程。

例8. 如圖8，利用倉庫兩牆互相垂直的牆角，把一塊長方形木闆的兩條邊緊靠在兩堵牆上，使地面、木闆和兩堵牆圍成一個直三棱柱，若已知木闆長為a，寬為b（

），問如何圍法可使三棱柱容積最大？

圖8

解：設∠ABC＝α（

），直三棱柱的體積為V，則有：

當且僅當

，即

°時，V取最大值

。

容積的大小不僅與角α有關，還與木闆是a邊還是b邊着地有關，因此還有

當且僅當，即α＝45°時，體積V”取得最大值

因為，所以

。

由此可知，當長方形木闆較長邊着地，并且使圍成的直三棱柱的底面為等腰直角三角形時，所圍成的直三棱柱容積最大。

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