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求向量組的秩的步驟

生活更新时间:2025-01-11 20:04:57

線性代數是用來幹啥的？這個問題大部分國内線性代數的課本都沒有講明白。

要講清楚這個問題，需要用公理化的數學思想。線性代數是用來刻畫線性空間的。

線性空間的理論為什麼重要，因為線性空間有一個特别優良的結構，就是線性空間中的任意元素，都可以用其基進行線性表達。這個性質非常重要，這意味着，我們隻要找到線性空間的基就可以表達線性空間所有的元素。同時，物理一點地說，就是線性空間的任意元素都可以分解為其基的線性組合。這樣我們很容易想到，三維線性空間的任意矢量都可以表示為a=xi yj zk，同時我們也容易想到無窮級數，比如說幂級數和傅立葉級數對不對？物理一點，我們可以想到波對不對？兩個波的疊加還是波，然後對波我們也可以對其進行傅立葉分析對不對？因此，線性空間這個優良的性質可以用抽象的形式表達廣泛的數學和物理學概念。

求向量組的秩的步驟（線性代數的意義）1

我們把滿足線性組合的這個性質抽象成8個公理，就能給出線性空間的概念，有了線性空間的概念，那麼我們就會發現，線性方程組的解空間是線性空間，歐幾裡得空間是線性空間，更進一步幂級數和傅立葉級數組成的空間也是線性空間。同樣物理上的波組成的空間也是線性空間。同樣電磁場也是線性空間，比如說靜電場我們也可以用傅立葉方法進行分解。

同樣我們再說矩陣，矩陣的意義就是在于刻畫線性變換。線性變換也具有優良的性質，這個性質讓我們發現，微分和積分都是和矩陣一樣的線性變換。還有常用的基變換和坐标變換也是如此。

然後我們學線性代數的時候，有矩陣的特征值和特征向量這個章節對不對？因為矩陣刻畫了線性變換，那麼我同樣可以讓線性變換也有特征值和特征向量，而有一類特殊的線性變換其特征向量就是其作用的線性空間的标準正交基，那麼我們就可以用特征向量構造線性變換作用的線性空間。由于微分和積分就是線性變換，那麼我們就可以給出一大類微分方程和積分方程的通解，通解就是線性空間的任意元素用基矢量進行線性表達。而量子力學的理論也是這樣構造的。

所以說線性代數到底講了什麼？其實就是講了線性空間和線性變換，線性空間和線性變換，提供了一個框架，這個框架可以把幾何，分析，代數統一到這個框架下面，甚至于物理學的波動理論，電磁場理論和量子力學理論都可以統一到線性空間這個框架下面。

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