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數據結構二叉樹的五種基本形态

科技 更新时间:2024-08-04 23:06:11
一、樹的相關概念

在學習各種樹的算法以及應用時,讓我們先來學習一下樹的相關概念。

✨1.1 結點的度

在樹中,結點的度表示結點擁有的子樹的數目,即結點有幾顆子樹,該結點就有幾度。

下面來看圖理解下。

數據結構二叉樹的五種基本形态(數據結構和算法)1

在上圖中,結點 A 有兩棵子樹,分别是 B 和 C,所以 A 的度為 2,B 有三棵子樹,所以 B 的度為 3,同理,C 的度為 1,D 的度為 0。

✨1.2 葉子/終端結點

葉子結點是指度為 0 的結點,也稱終端結點。

下面來看一個例子,如下所示:

數據結構二叉樹的五種基本形态(數據結構和算法)2

上圖中,紅色結點 D、E、F、G 都是葉子結點/終端結點,因為它們都沒有子樹,度為 0。

✨1.3 非終端結點/分支結點

非終端結點是指度非 0 的結點,又稱分支結點。

下面來看圖理解下,如下所示:

數據結構二叉樹的五種基本形态(數據結構和算法)3

在上圖中,紅色結點 A 、B、C 都是分支結點,因為它們的度都是大于 0 的。

✨1.4 分支

分支是指父子結點之前的連接,二叉樹最多有兩個分支,這兩個分支是父節點分别與左孩子和右孩子各有一個分支。來看圖理解下,以二叉樹為例。

數據結構二叉樹的五種基本形态(數據結構和算法)4

在上圖中,分支都被标識了出來。

✨1.5 路徑

路徑是指樹中任意一個結點到另外一個結點之前的分支組成的鍊路。

數據結構二叉樹的五種基本形态(數據結構和算法)5

在上圖中,标出了兩條路徑,分别是紅色:A-B-D,紫色:G-C-F。

✨1.6 路徑長度

路徑長度是指在路徑上的分支數目。

數據結構二叉樹的五種基本形态(數據結構和算法)6

經常會有題目涉及求兩個結點之前的路徑長度。

✨1.7 樹的路徑長度

從樹根到每一個結點的路徑長度的總和。

數據結構二叉樹的五種基本形态(數據結構和算法)7

上圖中,根結點 A 到其它節點 B、C、D、E、F、G的路徑長度分别為:1 、1、2、2、2、2,所以樹的總長度為 :1 1 2 2 2 2 = 10。

再來看一個例子,如下所示:

數據結構二叉樹的五種基本形态(數據結構和算法)8

在上圖中,根結點 A 到其它結點 B、C、D 的路徑長度分别為:1、1、2,所以樹的路徑長度為:4。

✨1.8 樹的帶權路徑長度

樹的帶權路徑長度是指樹中所有葉子結點的帶權路徑長度之和,使用如下公式計算:

數據結構二叉樹的五種基本形态(數據結構和算法)9

其中,

數據結構二叉樹的五種基本形态(數據結構和算法)10

為葉結點 k 的權值,

數據結構二叉樹的五種基本形态(數據結構和算法)11

為葉結點 l 的路徑長度。

來看一個實例,如下所示:

數據結構二叉樹的五種基本形态(數據結構和算法)12

在上圖中,葉結點分别為:D、E、F、G,其權值分别為:2、3、3、4,路徑長度都為 2,所以樹的帶權路徑長度:

數據結構二叉樹的五種基本形态(數據結構和算法)13

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