一個無理數的無理數次方是否有可能是一個有理數？這是一個非常經典的老問題了。答案是肯定的，證明方法非常巧妙：考慮根号 2 的根号 2 次方。如果這個數是有理數，問題就已經解決了。如果這個數是無理數，那麼就有：

我們同樣會得到一個無理數的無理數次方是有理數的例子。

這是一個典型的非構造性證明的例子：我們證明了無理數的無理數次方有可能等于有理數，但卻并沒有給出一個确鑿的例子。畢竟我們也不知道，真實情況究竟是上述推理中的哪一種。那麼，真實情況究竟是上述推理中的哪一種呢？ Gelfond-Schneider 定理告訴我們，假設 α 和 β 都是代數數，如果 α 不等于 0 和 1 ，并且 β 不是有理數，那麼 α 的 β 次方一定是超越數。根據這一定理我們可以立即看出，根号 2 的根号 2 次方真的是一個無理數，實際情況應該是上述推理中的後者。

那麼，是否存在一個無理數 a ，使得 a 的 a 次方是有理數呢？最近， Stan Dolan 證明了這樣一個結論：事實上，幾乎所有 (1, ∞) 裡的有理數都是某個無理數 a 的 a 次方。

注意到當 x 大于 1 時，函數 f(x) = 是連續單調遞增的，因而對于所有 (1, ∞) 裡的有理數 r ，一定存在唯一的 a ，使得= r 。不妨假設 a 是一個有理數，它的最簡分數形式是 n / m 。如果 m = 1 ，那麼我們會有平凡解 = r 。下面我們證明， m 是不可能大于 1 的，否則會産生矛盾。

假設有理數 r 的最簡分數形式是 c / b ，于是我們有：

= c / b

或者說：

注意到， 是 的約數。然而， m 和 n 是互質的， 與 沒有公共因子，因而一定是 的約數。同理， 是 的約數，但由于 b 和 c 是互質的，因此 一定是 的約數。 和 怎麼可能互為對方的約數呢？隻有一種可能，就是 等于 。

既然 = ，說明 m 和 b 肯定有大于 1 的公因數。假設 p 是 m 和 b 的某個公共質因數。我們把 m 和 b 中的所有質因數 p 都提出來，将它們寫成 和 ，其中 k 和 l 都不再含有質因數 p 。于是， = 就可以重新寫為：

既然 等于 的，它們一定含有相同數量的質因數 p ，因而 i·n = j·m ，可知 m 是 i·n 的約數。但是 m 和 n 是互質的，因此 m 一定是 i 的約數。最後，注意到 是 m 的約數，從而也就是 i 的約數。于是矛盾産生了：由于 p ≥ 2 ，因此 一定嚴格地大于 i ，不可能是它的約數。

因此，對于所有大于 1 的有理數，除非它恰好等于某個整數 n 的 n 次方，否則它都将是某個無理數 a 的 a 次方。

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