研究一個函數，就是研究這個函數的性質和其圖象的特點。函數的重要性質主要涉及到函數的單調性、奇偶性、對稱性、最值、極值、極值點、零點、定義域、值域、切線、漸近線等。

導數作為研究函數的重要工具，主要用來幫助研究函數的單調性、極值、最值、切線、尋找與x軸垂直的漸近線、以及結合導數值的正負畫出函數的大緻圖象。下面分别簡單加以介紹。

第一，研究可導函數的單調性。

如果一個函數可導，則在某個區間上根據導數值的正負大緻有以下幾種情況。

1.導數值恒大于等于零（導數值等于零的點的個數有限）。此時，原函數在這個區間上是嚴格遞增的函數。

2.導數值恒小于等于零（導數值等于零的點的個數有限）。此時，原函數在這個區間上是嚴格遞減的函數。

3.導函數值恒為零。此時，原函數在這個區間上是一個常函數。

第二，研究可導函數的極值。

函數的極值不同于函數的最值，它刻畫一個函數在函數局部（兩端點和間斷點除外）上的性質。

1.如果函數在局部某個點P的左側導數值大于0，右側導數值小于0，則原函數在點P附近“左增右減”，則函數圖象在點P附近最高，點P處對應的函數值即為函數極大值，同時把點P的橫坐标稱為函數的一個極大值點。

2.如果函數在局部某個點P的左側導數值小于0，右側導數值大于0，則原函數在點P附近“左減右增”，則函數圖象在點P附近最高，點P處對應的函數值即為函數極大值，同時把點P的橫坐标稱為函數的一個極大值點。

第三，研究可導函數的最值和值域。

求函數的值域離不開求函數的最值，而可導函數的最值和極值間有着密切的聯系。函數極值與函數最值的區别和聯系主要有以下幾點。

1.如果一個函數可導，則函數的極值不一定是函數的最值，函數的最值也不一定是函數的極值。

2.可導函數的最值往往在這個函數的所有極值和端點處的函數中取得。

3.如果一個可導函數的最值在其定義域的内部取得（不在端點和間斷點處取得），則此時的函數的最值也一定是函數的一個極值。

正是基于以上的事實，所以我們在求一個可導函數的最值時，隻需要求出這個可導函數在區間端點處函數值、間斷點處函數值、所有的極值，然後把它們比較大小，它們中的最大值就是這個函數的最大值，它們中的最小值就是這個函數的最小值。

第四，研究可導函數的切線。

求可導函數的切線方程往往需要求出這條切線的斜率。可導函數的導數值與切線斜率的關系就是，可導函數在切點處的導數值就等于在這個切點處的切線的斜率值。所以，求切線的斜率時，隻要先求出原函數的導函數，然後再求出導函數在切點處對應的導數值即可。

第五，研究可導函數的漸近線。

直接用導數工具求函數的漸近線，主要是求漸近線與坐标系中的x軸垂直的漸近線。因為這類漸近線的斜率不存在，對應的導函數值在此處取到“無窮大”（正無窮大或負無窮大）。

基于上面這個原理，在不知道函數圖象的前提下求其類漸近線時，可以在求出其導函數後，找導函數值為無窮大的點。

第六，結合導數值的正負畫出函數的大緻圖象

求出一個函數的定義域後，以函數的導數為工具，找出函數的極值點、零點、端點後，結合導數的正負判斷出函數的單調區間，然後用光滑曲線（一次函數除外）連結各點後得到函數的大緻圖象。

結合導數作圖的功能非常強大，它可以幫我們畫出很多常見的基本函數之外的函數圖象。

導數作為研究函數性質的一個簡單、快捷的工具，在研究函數的過程中起着非常重要的作用，有時甚至是不可替代的作用。

想要用好“導數”這個研究函數的重要工具，一方面，要從本質上理解導函數與原函數的關系、導函數的幾何意義（切線斜率）等。另一方面，一定要準确、熟練地掌握求一個函數的導函數的重要公式和運算法則。

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