矩形是特殊的平行四邊形，它具有一般平行四邊形的所有性質，同時還具有一些獨特的性質，可歸結為三個方面:(1)從邊看:矩形的對邊平行且相等;(2)從角看:矩形的四個角都是直角;(3)從對角線看:矩形的對角線互相平分且相等.判定一個四邊形是矩形可從兩個角度考慮:一是判定它有三個角為直角;二是先判定它為平行四邊形，再判定它有一個角為直角或兩條對角線相等.

【題目呈現】

一，求線段的長

1.如圖，将矩形紙片ABCD的四個角向内折起，點A、點B落在點M處，點C、點D落在點N處，恰好拼成一個無縫隙無重疊的四邊形EFGH，若EH=3㎝，EF=4㎝，求AD的長.

【分析】由折疊的性質和∠HEM=∠AEH，∠BEF=∠FEM，∴∠HEF=∠HEM十∠FEM=1/2×180°=90°，同理得∠EHG=∠HGF=∠EFG=90°，∴四邊形EFGH為矩形.∴HG∥EF，HG=EF，∴∠GHN=∠EFM，又∠HNG=∠FME=90°，∴△HNG≌△FME，∴HN=MF，而HN=HD，∴HD=MF，∴AD=AH HD=HM MF=HF，∵HF=√(EH² EF²)=√(3² 4²=5(㎝)∴AD=5㎝.本題通過折疊證出四邊形EFGH為矩形，然後利用三角形全等證出HN=MF，進而證出HD=MF，從而将AD轉化為直角三角形EFH的斜邊HF得解，體現了轉化的思想方法.

2.如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點E為BC的中點，将△ABE沿AE折疊，使點B落在矩形内點F處，連接CF，求CF的長.

【分析】條件有E為BC的中點，能想到什麼？由△ABE折疊為△AFE，又能想到什麼？想到的與CF如何聯系？這是我們解題首先要考慮的問題，就本題而言，E是BC的中點，可想到中位線，另一個中點在哪裡呢？由折疊可知，如圖，

連接BF，設AE與BF交于H，則H是BF的中點，這樣算出HE的長，可得CF的長，由于AE垂直平分BF，AB=4，BE=3，則AE=5，在Rt△ABE中，由面積法可得BH=12/5，則可算出HE=9/5，∴CF=2HE=18/5.另外由折疊知BE=BF=EC=3，則可得△BFC為直角三角形，∠BFC=90°，由上知BH=12/5，則BF=24/5，又BC=6，在Rt△BFC中由勾股定理可得CF=18/5.

二.判斷圖形的形狀

3.如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E，P分別在AD，BC上，且DE=BP=1.

(1)判斷△BEC的形狀，并說明理由.

(2)判斷四邊形EFPH是什麼特殊四邊形？并證明你的判斷.

(3)求四邊形EFPH的面積.

【分析】(1)△BEC是直角三角形，由于AD=BC=5，AB=CD=2，又DE=1，∴AE=4，在Rt△ABE中，BE²=AB² AE²=20，在Rt△EDC中，CE²=ED² CD²=5，而BC²=25，∴BE²十CE²=BC²，∴△BEC是直角三角形.

(2)四邊形EFPH為矩形，∵AD=BC，AD∥BC，DE=BP，∴四邊形DEBP是平行四邊形，∴BE∥DP，又可知AE=CP，AE∥CP，∴四邊形AECP是平行四邊形，∴AP∥CE，∴四邊形EFPH是平行四邊形，又∠BEC=90°，∴四邊形EFPH是矩形.

(3)易知PC=4，PD=2√5，在Rt△PCD中，由于FC⊥PD，則PD×CF=PC×CD，∴CF=4×2/2√5=4√5/5，∴EF=CE一CF=√5/5，在Rt△PFC中，可得PF=8√5/5，∴S矩形EFPH=EF×PF=8/5.

4.如圖，在△ABC中，D是BC邊上一點，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交CE的延長線于F，且AF=BD，連接BF，若AB=AC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結論.

【分析】∵AF∥BC，AF=BD，∴四邊形AFBD是平行四邊形，由于E是AD的中點，∴AE=DE，由AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，∠FAE=∠CDE，∴△AFE≌△DCE，∴DC=AF，∵AF=BD，∴DC=BD，又AB=AC，∴AD⊥BC，即∠ADB=90°，∴四邊形AFBD是矩形.

三，求角的度數

5.如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AO=CO，BO=DO，且∠ABC ∠ADC=180°.

(1)求證:四邊形ABCD是矩形;

(2)若∠ADF:∠FDC=3:2，DF⊥AC，求∠BDF的度數.

【分析】(1)由AO=CO，BO=DO，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABC=∠ADC，又∠ABC ∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴四邊形ABCD是矩形.

(2)∵∠ADC=90°，∠ADF:∠FDC=3:2，∴∠FDC=36°，∵DF⊥AC，∴∠DCO=90°一36°=54°，又∵四邊形ABCD是矩形，∴OC=OD，∴∠ODC=∠DCO=54°，∴∠BDF=∠ODC一∠FDC=54°一36°=18°.

6.如圖，矩形ABCD是邊長為1單位的正方形組成的1×3網格，求證∠1 ∠2=45°.

【分析】要求∠1 ∠2，與條件不好聯系，應想到轉化，把∠1與∠2轉到一個可計算的角中，可把原圖形擴展為2×3的網格，如圖，

AMQD為2×3網格，連接AN，NC，則AN=NC=√5，AC=√10，從而AC²=AN² NC²，∴∠ANC=90°，則△ANC為等腰直角三角形，∴∠2 ∠4=∠CAN=45°，易證△ABF≌△NHC，∴∠1=∠4，∴∠1 ∠2=45°.此題對初二同學來說有一定難度，若能想到轉化的思想，也不算太難.

四，求最值

7.如圖，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P為邊BC上一動點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF的中點，求AM的最小值.

【分析】由AB=3，AC=4，BC=5，則AB² AC²=BC²，∴∠BAC=90°，又PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四邊形AEPF為矩形，連接AP，EF與AP互相平分，M是EF的中點也是AP的中點，即AM=AP/2，可見若AP最小，則AM最小，△ABC确定，當AP⊥BC時AP最小，此時AP=AB×AC/BC=12/5，∴AM最小為6/5.

8.如圖，∠MON=90°，矩形ABCD的頂點A，B分别在OM，ON上，當B在邊ON上運動時，A随之在邊OM上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2，BC=1，運動過程中，求點D到點O的最大距離.

【分析】由于∠MON=90°，A在OM上，B在ON上，且AB=2，取AB的中點E，則OE=AB/2=1，連接DE，在Rt△DAE中，DE=√2，如圖，

在△DOE中，OE，DE确定，則OD≤OE DE，當且僅當O，E，D三點共線時取等号，∴OD的最大值為OE DE=√2 1.(利用三角形三邊關系求最值時，必須包含有要求的邊如OD，另兩邊必須确定可求).

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