在中國文化裡，有句成語這麼說道：九九歸一，意思是算來算去最後還是回到最初，還了原，歸根結底也算是九九歸原。

這句成語蘊含着周而複始的意思，在數學裡也得到完美的體現。我們從整數0開始數1，2，3，4，5，6,7,8,9，經過十進制的處理，又從0開始。

我們再來看下面這樣一個算式：

1/3×3=1.

對于這樣的等式計算，大家都很容易理解。

不過，有些人卻提出異議：

認為1/3=0.333……（無限循環小數）；

所以1/3×3=0.333……×3=0.999……（無限循環小數）

又因為1/3×3=1，

所以0.999……=1，但0.999……=1嗎？

對于無限循環小數0.999……，我們從常規的角度去理解，就是小數點後面有無數個9，不過，這裡有個疑問：

0.9＜1，

0.99＜1,

0.999＜1，

0.9999＜1，

以此類推，有人就提出這樣的結論：無限循環小數0.999……＜1，最多隻能是無限接近于1。因此，對于“0.999……=1？”這個問題，自從幾百年前被某位數學家提出來之後，一直到現在還是一個争論不休的話題。雖然很多數學家都提出一些比較嚴謹的證明方法，但始終無法讓普通人以平常的視角去接受這個等式。

之後，有人給出了這樣一個的證明過程：

設x=0.999……①

所以10x=9.999……②

②-①兩式相減得9x=9，

所以x=1.

對于這樣的證明過程，有人認為可以把0.999……看成無限個分數的和：

0.999……=9/10 9/100 9/1000 ……

因此，這些人認為0.999……代表着一個計算過程的結果，而“1”又是另一個數，缺少一定的嚴謹，怎麼可以等價起來呢？

問題的争論的焦點就集中在“0.999……”到底是一個結果，還是代表着一個過程，這就是數學裡所謂的二義性。

什麼是二義性？

某個句子存在不隻一棵語法樹，則稱該句子是二義性的。

其實像“0.999…=9/10 9/100 9/1000 ……”這個無限的過程，我們也可以理解成一個數。

如一開始用“1/3=0.333……”去證明“0.999……=1”，很多人都相信這個證明過程是對的，主要是一開始在潛意識裡認為第一步“1/3=0.333……”就是對的，基于這樣的原始認知，後面的證明過程也就沒有問題。

從某角度上來看，無論是“1/3=0.333……”還是“0.999……=1”，本質上都是一樣，當你承認其中一個成立的時候，另一個自然也就成立。不過，無論是哪一種情況，很多人會認為0.999……隻是無限接近于1，并不能很嚴謹、很準确的說明這個值就一定等于1。

這個問題深耕的結果，就是造成很多人也認為0.333……無限接近于1/3，但并不能直接說明等于1/3。

雖然在某些算式裡，我們已經能去證明“0.999……=1”，但在0.999……這個無限循環小數裡，每增加一個9，無非代表這個數無限接近于1，但實際上給人的感覺就是0.999……本身是比1小的。

接近是一回事，等價又是另一回事。

有的數學家就提出新的證明思路，既然有無窮個“9”，那麼就用極限的概念去證明。

後出現了集合論，又給出如下的證明過程：

給定一組區間套，則數軸上恰有一點包含在所有這些區間中0.999……對應于區間套[0,1]、[0.9,1]、[0.99,1]、[0.999,1]……，而所有這些區間的唯一交點就是1，所以0.999……=1。

或者是這樣的證明：

所有比0.999……小的有理數都比1小，而可以證明所有小于1的有理數總會在小數點後某處異于0.999……（因而小于0.999……），這說明0.999……和1的戴德金分割是一樣的集合，從而說明0.999……=1。

​對于“0.999……=1”的證明，随着數學的發展，其證明方法越來越多，也越來越完善和嚴謹，但始終沒有解決其中的疑慮：0.999……隻是無限接近于1，應該是小于1，為什麼一定會等于1呢？

如何證明“0.999……=1”，估計還會争論很久，或許在将來某個時刻會因為這個證明誕生更偉大的數學成果，也有可能就是一個無法解決的問題。不過，這也正是數學的魅力所在，往往一個問題的出現，其解決過程會推動數學某些領域，甚至影響其他學科的發展。

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