建模解題是數學學習一種最基本的學習途徑和最有效的學習方法，是基于構建主義理論的一種主動學習過程，是對現象和過程進行合理的抽象和量化，然後應用數學公式進行模拟和驗證的一種模式化思維.不同知識，不同條件，不同特點，可以構建不同數學模型，為數學靈活解題提供靈活解題方法.

下面就結合2019年的考題構建一種圓内接三角形解題模型，并通過模型的應用，模型的變式，掌握模型的特點，為其他模型的構建提供模本.

中考題具有一定的典型性，代表性和探究性，立足中考題，探索解題智慧，構建知識模型，拓展引申提升，都将會極大優化數學學習品質，提升數學核心素養，形成數學解題智慧.

一、考題探解

考題再現：

（2019年江蘇泰州）如圖1，⊙O的半徑為5，點P在⊙O上，點A在⊙O内，且AP=3,過

點A作AP的垂線交于⊙O點B、C.設PB=x,PC=y,則y與x的函數表達式為．------　

題意探索：已知圓的半徑，自然知道直徑的長度，直徑何在？選擇适當的直徑的端點構造即可實現目标；垂線段置于三角形中不正是三角形的高嗎，這樣不就有直角三角形呈現嗎，聯想到直徑上的圓周角是直角，也能構造一個直角三角形，于是思路有了，兩個直角三角形相似對問題解決有幫助嗎？能相似嗎？帶着這樣的思索，梳理已知圖形，為構造直角三角形提供支撐，于是解題的構想就形成了.

解後反思：當考題背景是圓時，遇到角常有如下思考方向：

1. 直徑上的圓周角是直角；

2.同弧上的圓周角相等；

3.通過問題的解答，構造一條适當的直徑是解題的一種重要輔助線，這是圓特有的一種輔助線，必須熟練駕馭，靈活運用；

4.科學滲透，勾股定理可以滲透，三角形相似可以滲透，函數思想可以滲透，面積思想可以滲透，三角函數的思想可以滲透等等.除了上述的認識外，總覺得命題中海油更深的内涵在裡面，值得深挖，值得思索，值得構建一種解題基本模型.

二、細化建模

模型1：一邊、對角和半徑型

如圖1，⊙O的半徑為R，△PBC是⊙O的内接三角形，設PB=a,∠PCB=β，則a=2Rsinβ.

模型2：兩邊、第三邊上的高和半徑型函數觀

如圖1，⊙O的半徑為R，點P在⊙O上，點A在⊙O内，且AP=h,過點A作AP的垂線交于⊙O點B、C.設PB=x,PC=y,則y與x的函數表達式為y= .

模型3：三角形三邊、面積和半徑型

如圖1，⊙O的半徑為R，點P在⊙O上，點A在⊙O内，過點A作AP的垂線交于⊙O點B、C.設PB=a,PC=b,BC=c,△PBC的面積為S.則S=

.

模型4：兩邊、第三邊上的高和半徑型高長觀

如圖1，⊙O的半徑為R，點P在⊙O上，點A在⊙O内，且AP=h,過點A作AP的垂線交于⊙O點B、C.設PB=a,PC=b,.則h= .

模型5：兩角，高和半徑型

如圖1，⊙O的半徑為R，點P在⊙O上，點A在⊙O内，且AP=h,過點A作AP的垂線交于⊙O點B、C.設∠PBC=α,∠PCB=β.則h=2Rsinαsinβ.

根據題意，構建了四個基本模型，模型的證明方法與原題的一緻，也是通過構造直徑，繼而構造直角三角形，綜合運用相似，三角函數等知識實現目标.

構建模型是為了能更好更有效地解決實際問題，熟練掌握模型，理解模型，靈活運用模型是建模的根本目标，下面就舉例談談模型的應用.

三、模型應用

1.變式模型求半徑

點評：這是模型1的具體應用，解答時，熟練駕馭輔助線的構造，靈活運用三角函數的定義，變式計算即可.構造直徑，繼而構造直角三角形是解題的關鍵.

2.運用模型求第三邊上的高

點評：這是模型5的具體應用，解答時，準确進行模型的對接是解題的關鍵.

3.運用模型助解邊長的取值範圍

點評：解答時，有三點值得重視：一是轉化思想的運用即把問題轉化成三角形的外接圓問題，這是解題的關鍵；二是必須清楚圓中直徑是最長的弦，這為弦BC的最大值确定提供支撐；三是用好模型計算直徑．

4.運用模型助解線段的長

點評：運用角之間的關系把所求線段轉化為已知圓的直徑求解是解題的關鍵.這種轉化的思想是數學中非常重要的思想，要加強應用.

5.運用模型助解線段的比

點評：選擇正确的解題思路是解題的關鍵.解答時，有兩點非常的重要，一是将問題與模型的合理對接，這是解題的靈魂所在；二是圖形面積不變的思想，是解題的等式來源.

解後反思：

數學解題是訓練數學能力的有效手段，這是學好數學的必由之路，這種理念不能動搖，在解題後進行科學反思更是值得提倡的學習方法，反思問題破解的切入點，解題的基本思路，包含的基本思想，使用的基本輔助線等，反思問題的變式與拓展引申，反思問題的代表性，反思建模，用建模的思想來拓展解題的思路，拓展模型的應用，從而确實提升自身的數學核心素養和數學智慧.

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