也是公衆号“世界重啟”計劃的第五十一篇。
棋有棋眼,文有文眼,題有題眼.棋眼,乃下棋的突破口,一旦占領棋眼,即可取得絕對性的優勢;
文眼,則指文中最能揭示主旨、升華意境、涵蓋内容的關鍵性詞句,文眼往往奠定文章的感情基調,以及确定文章的中心;
而數學問題中的“題眼”泛指試題主要落點或解題的關鍵點。
從哲學的角度來看,就是抓住主要矛盾問題就一切問題就迎刃而解.數學解題和下棋、寫文章一樣,如果善于挖掘題眼,理解題眼,破解題眼,則會起到事半功倍,四兩撥千斤之作用。
但在數學題中,“題眼”的确是真實存在的,甚至可以說是必然存在的,是數學解題的客觀需要。
如果我們去分析一道數學題,不管是哪個階段、什麼題型,也無論難易程度,大抵都是分為條件和結論。
我們的解題過程,就是從條件入手,通過分析條件,得到一些小的結論,再把這些小的結論綜合起來,再得出新的結論,這麼循環往複、層次遞進,進而得到最後的結論。
就像是一位攀岩高手,在陡峭的岩壁上尋找到一塊塊關鍵的落腳點,勾勒出一條直達峰頂的路徑。
這條路徑,就是我們所謂的思路。
既然是思路,那一定會有一條主線,會有一個起點,其他的條件都是依附于這一條主線,配合着這條主線來進行。
這條主線的起點,我們就稱之為“題眼”,或者說是破題點。
題眼的發掘有時候很簡單,一眼可見,但有時候卻隐藏在紛繁複雜的條件中。
有時候你可以憑經驗直覺一下找到,有時候卻需要通過艱苦的思考才能捕捉得到。
有時候你發現了,卻不知道如何下手。
今天,我們就結合着一些數學題目來聊一聊,如何發現題眼,如何通過題眼來解決問題。
這是一道二次函數問題,它的題眼是哪一個條件呢?
這裡面二次函數的解析式,點的設置,都隻是基礎性的表述,唯一涉及到有數量關系,特殊關系的,隻有一個條件,即三角形ABC為等邊三角形。
但是這個條件我們如何切入呢?
首先基礎性的知識一定要熟練紮實,比如等邊三角形角的性質,邊的性質,角的大小這些要立馬能夠想到。
這需要一定量的練習,比如每看到一道題目,都會主動分析每一個條件所對應的結論。這種方法在平幾、立幾問題的解題學習中特别有效。
其次是要對這種題型有一個方法論層次的認識,即這道題目的本質是要構造方程,解方程,而要想構造方程,就必須尋找等量關系,而等量關系就隐藏在等邊三角形的性質中。
以上幾點缺乏其中一點,要麼找不到題眼,要麼找到之後無法處理,要麼無法得到最後的結果。
再比如這一道題目,也是一道二次函數的題目,應該是來自于小藍書(初中卷)的一次函數與二次函數吧,記不太清楚了。
書歸正傳,因為涉及到符号,所以我把之前的分析截圖發出來,大家可以看一下:
像這道題目的條件中,最顯眼的無過于兩個根的平方和,這個條件幾乎對應着就是韋達定理。
這是知識儲備層面。
另一方面,從方法論的角度,求參數範圍就要構造不等式,而兩個交點則意味着判别式要大于等于0,顯然可以構造出不等式。
至于消元和參數範圍的問題,屬于解題的細節性問題。
題眼顯然就在于兩個根的平方和以及判别式要大于等于0。
通過這兩個例子我們可以發現,題眼是客觀存在的。
因為既然是題目,出題老師當然是希望學生能夠解決的,既然這樣,那麼一定會留有線索,這就是題眼存在的必要性。
但出題老師又想通過題目有所篩選,考察出學生的能力和缺陷,那麼自然不肯将題目的線索留的太過直白,這就是題眼的隐蔽性。
越是難的題目,題眼越隐蔽,綜合性越強,往往是通過若幹條件的分析綜合,才能找到破門而入的方法。
而要想找到題眼,并且順利的突破,作為學生要做到哪些呢?
除了個别的神仙題之外,大部分的題目都是遵循着一些常見的規律的,要想順利的找到突破口,我們需要盡量做到以下幾點:
基礎要牢固,很多題目都有其對應的解法,很多題目的條件也都其對應的處理方法和結論,很多題目也都有其固定的套路和陷阱,這些知識一定要掌握紮實,有時候我們講找到題眼并破題是一種玄學,是靠直覺。
其實一點都不玄,所謂的直覺也是千錘百煉後的條件反射而已。
模闆要熟悉,模闆就是固定的解題路徑,大部分的題目套路雖然千變萬化,但其背後的解題路徑都是一緻的,要學會套模闆,這方面闡述的比較好的就是波利亞的怎樣解題表,大家有興趣的話可以看一看。
有了模闆的好處就是可以依樣畫葫蘆的解決很多問題。
我們都學過政治,比方法論更高一級的是世界觀,那麼在解題方面,比方法論高一檔的是什麼呢?
就是數學思想!
就比如我們今天舉的這兩道題目,看似不太一樣,但實際上都運用了方程思想,尋找等量(不等)關系,構造方程(不等式),求值(範圍),這比一般的套模闆更适應千變萬化的題目,也更容易找到隐藏在題目深處的題眼。
有詩雲:不畏浮雲遮望眼,隻緣身在最高層,便是如此。
做題越多,我越覺得解題是一件很有意思的事情,是解題人與出題人之間的一場遊戲,有時候面對一道難題,苦思冥想之後,終于靈光一現想到一種做法,不僅會感歎出題人心思之巧,用心之工,頗有得一知己之感。
那題眼就仿佛是俞伯牙的高山流水,引導着我們這些知音去尋覓那高絕琴音中隐含的絕妙。
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