也是公衆号“世界重啟”計劃的第五十一篇。

棋有棋眼，文有文眼，題有題眼．棋眼，乃下棋的突破口，一旦占領棋眼，即可取得絕對性的優勢；

文眼，則指文中最能揭示主旨、升華意境、涵蓋内容的關鍵性詞句，文眼往往奠定文章的感情基調，以及确定文章的中心；

而數學問題中的“題眼”泛指試題主要落點或解題的關鍵點。

從哲學的角度來看，就是抓住主要矛盾問題就一切問題就迎刃而解．數學解題和下棋、寫文章一樣，如果善于挖掘題眼，理解題眼，破解題眼，則會起到事半功倍，四兩撥千斤之作用。

但在數學題中，“題眼”的确是真實存在的，甚至可以說是必然存在的，是數學解題的客觀需要。

如果我們去分析一道數學題，不管是哪個階段、什麼題型，也無論難易程度，大抵都是分為條件和結論。

我們的解題過程，就是從條件入手，通過分析條件，得到一些小的結論，再把這些小的結論綜合起來，再得出新的結論，這麼循環往複、層次遞進，進而得到最後的結論。

就像是一位攀岩高手，在陡峭的岩壁上尋找到一塊塊關鍵的落腳點，勾勒出一條直達峰頂的路徑。

這條路徑，就是我們所謂的思路。

既然是思路，那一定會有一條主線，會有一個起點，其他的條件都是依附于這一條主線，配合着這條主線來進行。

這條主線的起點，我們就稱之為“題眼”，或者說是破題點。

題眼的發掘有時候很簡單，一眼可見，但有時候卻隐藏在紛繁複雜的條件中。

有時候你可以憑經驗直覺一下找到，有時候卻需要通過艱苦的思考才能捕捉得到。

有時候你發現了，卻不知道如何下手。

今天，我們就結合着一些數學題目來聊一聊，如何發現題眼，如何通過題眼來解決問題。

這是一道二次函數問題，它的題眼是哪一個條件呢？

這裡面二次函數的解析式，點的設置，都隻是基礎性的表述，唯一涉及到有數量關系，特殊關系的，隻有一個條件，即三角形ABC為等邊三角形。

但是這個條件我們如何切入呢？

首先基礎性的知識一定要熟練紮實，比如等邊三角形角的性質，邊的性質，角的大小這些要立馬能夠想到。

這需要一定量的練習，比如每看到一道題目，都會主動分析每一個條件所對應的結論。這種方法在平幾、立幾問題的解題學習中特别有效。

其次是要對這種題型有一個方法論層次的認識，即這道題目的本質是要構造方程，解方程，而要想構造方程，就必須尋找等量關系，而等量關系就隐藏在等邊三角形的性質中。

以上幾點缺乏其中一點，要麼找不到題眼，要麼找到之後無法處理，要麼無法得到最後的結果。

再比如這一道題目，也是一道二次函數的題目，應該是來自于小藍書（初中卷）的一次函數與二次函數吧，記不太清楚了。

書歸正傳，因為涉及到符号，所以我把之前的分析截圖發出來，大家可以看一下：

像這道題目的條件中，最顯眼的無過于兩個根的平方和，這個條件幾乎對應着就是韋達定理。

這是知識儲備層面。

另一方面，從方法論的角度，求參數範圍就要構造不等式，而兩個交點則意味着判别式要大于等于0，顯然可以構造出不等式。

至于消元和參數範圍的問題，屬于解題的細節性問題。

題眼顯然就在于兩個根的平方和以及判别式要大于等于0。

通過這兩個例子我們可以發現，題眼是客觀存在的。

因為既然是題目，出題老師當然是希望學生能夠解決的，既然這樣，那麼一定會留有線索，這就是題眼存在的必要性。

但出題老師又想通過題目有所篩選，考察出學生的能力和缺陷，那麼自然不肯将題目的線索留的太過直白，這就是題眼的隐蔽性。

越是難的題目，題眼越隐蔽，綜合性越強，往往是通過若幹條件的分析綜合，才能找到破門而入的方法。

而要想找到題眼，并且順利的突破，作為學生要做到哪些呢？

除了個别的神仙題之外，大部分的題目都是遵循着一些常見的規律的，要想順利的找到突破口，我們需要盡量做到以下幾點：

基礎要牢固，很多題目都有其對應的解法，很多題目的條件也都其對應的處理方法和結論，很多題目也都有其固定的套路和陷阱，這些知識一定要掌握紮實，有時候我們講找到題眼并破題是一種玄學，是靠直覺。

其實一點都不玄，所謂的直覺也是千錘百煉後的條件反射而已。

模闆要熟悉，模闆就是固定的解題路徑，大部分的題目套路雖然千變萬化，但其背後的解題路徑都是一緻的，要學會套模闆，這方面闡述的比較好的就是波利亞的怎樣解題表，大家有興趣的話可以看一看。

有了模闆的好處就是可以依樣畫葫蘆的解決很多問題。

我們都學過政治，比方法論更高一級的是世界觀，那麼在解題方面，比方法論高一檔的是什麼呢？

就是數學思想！

就比如我們今天舉的這兩道題目，看似不太一樣，但實際上都運用了方程思想，尋找等量（不等）關系，構造方程（不等式），求值（範圍），這比一般的套模闆更适應千變萬化的題目，也更容易找到隐藏在題目深處的題眼。

有詩雲：不畏浮雲遮望眼，隻緣身在最高層，便是如此。

做題越多，我越覺得解題是一件很有意思的事情，是解題人與出題人之間的一場遊戲，有時候面對一道難題，苦思冥想之後，終于靈光一現想到一種做法，不僅會感歎出題人心思之巧，用心之工，頗有得一知己之感。

那題眼就仿佛是俞伯牙的高山流水，引導着我們這些知音去尋覓那高絕琴音中隐含的絕妙。

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