楊輝，字謙光，錢塘（今浙江省杭州）人，南宋時期傑出的數學家、數學教育家，他曾擔任過南宋地方行政官員，為政清廉，足迹遍及蘇杭一帶。他在總結民間乘除捷算法、“垛積術”、縱橫圖以及數學教育方面，均做出了重大的貢獻。他是世界上第一個排出豐富的縱橫圖和讨論其構成規律的數學家。還曾論證過弧矢公式，時人稱為“輝術”。 他與秦九韶、李冶、朱世傑并稱“宋元數學四大家”。

楊輝對各種數陣的研究懷有特别濃厚的興趣，他是最早系統研究幻方的數學家。n階幻方是指由前n^2（n的2次方）個自然數組成的一個n階方陣，其各行、各列及兩條對角線所含的n個數的和相等。比如像下面這樣其各行、各列及兩條對角線所含的數的和都為15的圖，我國古代把它叫做縱橫圖或九宮格，國外把它叫做三階幻方。

九宮格

事實上，南北朝的甄鸾在《數術記遺》一書中就研究過九宮格的填法：“九宮者，二四為肩，六八為足，左三右七，戴九履一，五居中央。”而在楊輝的《續古摘奇算法》中，他進一步總結出了三階幻方構造的方法：九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出”。就是說：一開始将九個數字從大到小斜排三行，然後将9和1對換，左邊7和右邊3對換，最後将位于四角的4、2、6、8分别向外移動，排成縱橫三行，就構成了九宮圖。按照類似的規律，楊輝又得到了“花16圖”，就是從1到16的數字排列在四行四列的方格中，使每一橫行、縱行、斜行四數之和均為34。後來，楊輝又将散見于前人著作和流傳于民間的有關這類問題加以整理，得到了“五五圖”、“六六圖”、“衍數圖”、“易數圖”、“九九圖”、“百子圖”等許多類似的圖。這些成果都被收錄在他的數學著作《續古摘奇算法》一書中，并流傳後世。

楊輝填九宮格方法

除了幻方之外，楊輝最廣為人知的重大貢獻就是“楊輝三角”的發現。有一次，楊輝得到一本《黃帝九章算法細草》，這是北宋數家賈憲寫的。這裡面有不少了不起的成就，如賈憲描畫了一張圖，叫作“開方作法本源圖”。圖中的數字排列成一個大三角形，位于兩腰上的數字均是1，其餘數字則等于它上面兩數字之和。從第二行開始，這個大三角形的每行數字，都對應于一組二項展開式的系數，下面試舉例說明：在第三行中，1、3、3、1，這4個數字恰好是對應于（X 1）3=X3 3X2 3X 1；再如第四行對應于（X 1）4=X4 4X3 6X2 4X 1。以此類推。楊輝把賈憲的這張畫忠實地記錄下來，并保存在自己的《詳解九章算術》一書中。這就是“楊輝三角”，在西方也叫“帕斯卡三角”。帕斯卡（1623----1662）是在1654年發現這一規律的，比楊輝要遲393年，比賈憲遲600年。楊輝三角是中國古代數學的傑出研究成果之一，它把二項式系數圖形化，把組合數内在的一些代數性質直觀地從圖形中體現出來，是一種離散型的數與形的結合。

楊輝三角

“楊輝三角”有不少有趣的性質。首先，(a b)n的展開式中的各項系數依次對應楊輝三角的第(n 1)行中的每一項。其次，從第2行起，每一行的第二個數（或倒數第二個數）依次是1,2,3,4……。再比如，每個數字等于上一行的左右兩個數字之和，比如第6行第3個數10=4 6，正好是10的上一行左右兩數之和，可用此性質寫出整個楊輝三角。還有，第n行各數之和正好為2的n-1次方。此外，楊輝三角還與組合數、斐波拉契數列有密切的聯系，這裡就不贅述了。

楊輝著名的數學書共五種二十一卷。著有《詳解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷（1262年）、《乘除通變本末》三卷（1274年）、《田畝比類乘除算法》二卷（1275年）、《續古摘奇算法》二卷（1275年）（後三種合稱為《楊輝算法》）。

楊輝所著的《詳解九章算法》從殘本的體例看，對《九章算術》的詳解可分為：一、解題。内容為解釋名詞術語、題目含義、文字校勘以及對題目的評論等方面。二、明法、草。在編排上，楊輝采用大字将賈憲的法、草與自己的詳解明确區分出來。三、比類。選取與《九章算術》中題目算法相同或類似的問題作對照分析。四、續釋注。在前人基礎上，對《九章算術》中的80問進一步作注釋。楊輝的“纂類”，突破《九章算術》的分類格局，按照解法的性質，重新将《九章算術》246個題目分為乘除、分率、合率、互換、衰分、疊積、盈不足、方程、勾股九類。

他在《續古摘奇算法》中介紹了各種形式的"縱橫圖"及有關的構造方法，同時"垛積術"是楊輝繼沈括"隙積術"後，關于高階等差級數求和的研究。

楊輝不僅是一位著述甚豐的數學家，而且還是一位傑出的教育家。他一生緻力于數學教育和數學普及，其著述有很多是為了數學教育和普及而寫。楊輝的數學研究與教育工作的重點是在計算技術方面，他對籌算乘除捷算法進行總結和發展，有的還編成了歌決，如九歸口決。《算法通變本末》中載有楊輝專門為初學者制訂的“習算綱目”，它集中體現了楊輝的數學教育思想和方法。

總而言之，楊輝的幾部著作極大地豐富了我國古代數學寶庫，為數學科學的發展做出了卓越的貢獻，他不愧為“宋元四大家”之一。

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