類型1 一般的猜想探究題

一般幾何題的猜想與證明近幾年在中考中間斷性出現,以學生探究為主線,置身于數學問題的發現與解決中,一般在最後3題中一題，以綜合與實踐的形式出現,考查學生分析問題、解決問題的能力.常綜合平行線、等腰三角形(等邊三角形)、直角三角形、平行四邊形、矩形、正方形等知識為一體,借助邏輯推理一步一步證明,建立方程模型思想,如常見的通過勾股定理、相似三角形對應邊成比例、解直角三角形、面積法、平行線分線段成比例定理等得出關于未知數的方程,從而求解.

例1．（2018山西） 綜合與實踐

問題情境：在數學活動課上，老師出示了這樣一個問題：如圖1，在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AB延長線上一點，且BE=AB，連接DE，交BC于點M，以DE為一邊在DE的左下方作正方形DEFG，連接AM，試判斷線段AM與DE的位置關系。

探究展示：勤奮小組發現，AM垂直平分DE，并展示了如下的證明方法：

證明：∵ BE=AB， ∴ AE=2AB.

∵ AD=2AB，∴ AD=AE

∵ 四邊形ABCD是矩形， ∴ AD∥BC

∴ EM/DM=EB/AB . (依據1)

∵ BE=AB，∴EM/DM=1. ∴EM=DM

即AM是△ADE的DE邊上的中線，

又∵ AD=AE，∴ AM⊥DE . (依據2)

∴ AM垂直平分DE.

反思交流:

（1） ①上述證明過程中的"依據1""依據2"分别是指什麼?

②試判斷圖1中的點A是否在線段GF的垂直平分線上，請直接回答，不必證明；

（2） 創新小組受到勤奮小組的啟發，繼續進行探究，如圖2，連接CE，以CE為一邊在CE的左下方作正方形CEFG，發現點G在線段BC的垂直平分線上，請你給出證明；

探索發現：

（3） 如圖3，連接CE，以CE為一邊在CE的右上方作正方形CEFG，可以發現點C，點B都在線段AE的垂直平分線上，除此之外，請觀察矩形ABCD和正方形GEFG的頂點與邊，你還能發現哪個頂點在哪條邊的垂直平分線上，請寫出一個你發現的結論，并加以證明。

【思路分析】本題考查了矩形及垂直平分線的性質，解題的關鍵是作輔助線構造全等三角形進行解答．（1）依據1是由平行得到比例的關系；依據2是等腰三角形的性質，由中線得到垂直；（2）過點G作GH⊥BC于點H，利用AAS證明△GHC≌△CBE，則CH＝BE，結合已知條件AD=2AB, BE=AB，結論可證；（3）與（2）的證明方法相似，過點F作FM⊥BC于點M，過點E作EN⊥FM于點N，可證△ENF≌△EBC，結合已知條件，結論可證.

【解答過程】（1）①依據1：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例(或平行線分線段成比例)。

依據2：等腰三角形頂角的平分線，底邊上的中線及底邊上的高互相重合(或等腰三角形的"三線合一")

（2）證明：過點G作GH⊥BC于點H，

∵ 四邊形ABCD是矩形，點E在AB的延長線上，

∴ ∠CBE=∠ABC=∠GHC=90° .∴ ∠BCE ∠BEC=90°

∵ 四邊形CEFG為正方形,∴ CG=CE，∠GCE=90°.

∴ ∠GCB ∠BCE=90°. ∴ ∠BEC=∠GCB.

∴ △GHC≌△CBE. ∴ HC=BE.

∵ 四邊形ABCD是矩形，∴ AD=BC

∵ AD=2AB, BE=AB，∴ BC=2BE=2HC.

∴ HC= BH，∴ GH垂直平分BC.

∴ 點G在BC的垂直平分線上

（3）答：點F在BC邊的垂直平分線上（或點F在AD邊的垂直平分線上）.

證明：過點F作FM⊥BC于點M，過點E作EN⊥FM于點N

∴ ∠BMN=∠ENM=∠ENF=90°.

∵ 四邊形ABCD是矩形，點E在AB的延長線

∴ ∠CBE=∠ABC=90°，∴ 四邊形BENM為矩形

∴ BM=EN, ∠BEN=90°，∴ ∠1 ∠2=90°

∵ 四邊形CEFG為正方形，∴ EF=EC，∠CEF=90°

∴ ∠2 ∠3=90°，∴ ∠1=∠3

∵ ∠CBE=∠ENF=90°，∴ △ENF≌△EBC.

∴ NE=BE.∴ BM=BE.

∵ 四邊形ABCD是矩形，∴ AD=BC

∵ AD=2AB，AB=BE，∴ BC=2BM，∴ BM=MC

∴ FM垂直平分BC，∴ 點F在BC邊的垂直平分線上.

【一題多解】（3）方法二：過F作FN⊥BE交BE的延長線于點N，連接FB，FC.

∵四邊形ABCD是矩形，點E在AB的延長線上.

∴∠CBE=∠ABC=∠N=90°. ∴∠BEC ∠BCE=90°.

∵四邊形CEFG為正方形，∴EC=EF，∠CEF=90°.

∴∠BEC ∠FEN=90°.∴∠FEN=∠BCE.∴△ENF≌△CBE.

∴NF=BE，NE=BC.

∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC.

∵AD=2AB，BE=AB.∴設BE=a，則BC=EN=2a，NF=a.

∴BF=CF.∴點F在BC邊的垂直平分線上.

方法規律：在複習一般幾何題的猜想探究題目時,要注意證明推理和方程模型計算的綜合,要對條件進行合理猜想與推理,結合自己的解題經驗及對題目的把握靈活處理.複習時注意以下幾點:

1、注意總結考查知識的面與點,了解此類題目的特點;

2、針對此類問題的練習要注意總結知識間的聯系,提升思維的開放性;3、針對自己在做題中遇到的問題進行相應的總結與練習,不斷提升分析問題、解決問題的能力.

類型2 圖形平移型

圖形平移的探究題近幾年在中考中間斷性出現,主要以探究為主線,令學生置身于數學問題的發現與解決中, 一般在最後3題中一題，以綜合與實踐、23題結合函數以壓軸題的形式出現,考查學生分析問題和解決問題的能力.常綜合平行線、等腰三角形(等邊三角形)、直角三角形、平行四邊形、矩形、正方形等知識為一體,借助邏輯推理一步一步證明,建立方程模型思想,如常見的通過勾股定理、相似三角形對應邊成比例、解直角三角形、面積法、平行線分線段成比例定理等得出關于未知數的方程,從而求解.

例2.(2018·貴港)已知:A、B兩點在直線l的同一側,線段AO,BM均是直線l的垂線段,且BM在AO的右邊,AO=2BM,将BM沿直線l向右平移,在平移過程中,始終保持∠ABP=90°,BP邊與直線l相交于點P.

(1)當P與O重合時(如圖2所示),設點C是AO的中點,連接BC.求證:四邊形OCBM是正方形;

(2)請利用如圖1所示的情形,求證:AB/PB=OM/BM ;

(3)若AO=2√6 ,且MO=2PO,請直接寫出AB和PB的長.

【思路分析】(1)先證明四邊形OCBM是平行四邊形,再由∠BMO=90°,得出▱OCBM是矩形,最後根據直角三角形斜邊上的中線的性質即可證明四邊形OCBM是正方形.

(2)連接AP、OB,由于∠ABP=∠AOP=90°,所以A、B、O、P四點共圓,從而利用圓周角定理可證明∠APB=∠OBM,所以△APB∽△OBM,利用相似三角形的性質即可求出答案.

(3)由于點P的位置不确定,故需要分情況進行讨論,共兩種情況,第一種情況是點P在O的左側時,第二種情況是點P在O的右側時,然後利用四點共圓、相似三角形的判定與性質、勾股定理即可求出答案.

【解答過程】　(1)∵2BM=AO,2CO=AO,∴BM=CO,

∵AO∥BM,∴四邊形OCBM是平行四邊形,

∵∠BMO=90°,∴▱OCBM是矩形,

∵∠ABP=90°,C是AO的中點,

∴OC=BC,∴矩形OCBM是正方形.

(2)如圖,連接AP、OB,

∵∠ABP=∠AOP=90°,∴A、B、O、P四點共圓,

由圓周角定理可知∠APB=∠AOB,

∵AO∥BM,∴∠AOB=∠OBM,∴∠APB=∠OBM,

∴△APB∽△OBM,∴AB/PB=OM/BM

(3)當點P在O的左側時,如圖所示,過點B作BD⊥AO于點D,

易證△PEO∽△BED,∴PO/BD=OE/DE,易證：四邊形DBMO是矩形，

∴BD＝MO，OD＝BM,∴MO＝2PO＝BD，∴OE/DE=1/2，

∵AO＝2BM＝2√6，∴BM＝√6，∴OE＝√6/3，DE＝2√6/3，

易證△ADB∽△ABE，∴AB²＝AD•AE，

∵AD＝DO＝BM＝√6，∴AE＝AD DE＝5√6/3,∴AB＝√10，

由勾股定理可知：BE＝2√15/3，易證：△PEO∽△PBM，

∴BE/FB=OM/PM=2/3，∴PB＝√15,

當點P在O的右側時，如圖所示，

過點B作BD⊥OA于點D，

∵MO＝2PO，∴點P是OM的中點，

設PM＝x，BD＝2x，

∵∠AOM＝∠ABP＝90°，∴A、O、P、B四點共圓，

∴四邊形AOPB是圓内接四邊形，∴∠BPM＝∠A，∴△ABD∽△PBM，

∴AD/BD=PM/BM，

又易證四邊形ODBM是矩形，AO＝2BM，

∴AD＝BM＝√6，∴√6/2x=x/6，解得：x＝√3，∴BD＝2x＝2√3,

由勾股定理可知：AB＝3√2，PB＝3，

綜上所述，AB＝√10，PB＝√15或AB＝3√2，PB＝3.

方法規律：平移不改變圖形的大小和形狀,對應線段相等,對應角相等.綜合複習時要注意證明推理和方程模型計算的綜合,要對條件進行合理猜想與推理,結合自己的解題經驗及對題目的把握靈活處理.複習時注意以下幾點:1、注意總結考查知識的面與點,了解此類題目的特點;2、針對此類問題的練習要注意總結知識間的聯系,提升思維的開放性;3、針對自己在做題中遇到的問題進行相應的總結與練習,不斷提升分析問題和解決問題的能力.

類型3 圖形旋轉型

圖形的旋轉型探究題近幾年在中考中間斷性出現,主要以探究為主線,令學生置身于數學的問題發現與解決中, 一般在最後3題中一題，以綜合與實踐、結合函數以壓軸題的形式出現,考查學生分析問題和解決問題的能力.常綜合平行線、等腰三角形(等邊三角形)、直角三角形、平行四邊形、矩形、正方形等知識為一體,借助邏輯推理一步一步證明,建立方程模型思想,如常見的通過勾股定理、相似三角形對應邊成比例、解直角三角形、面積法、平行線分線段成比例定理等得出關于未知數的方程,從而求解.

例3．（2018山東煙台中考題）

【問題解決】

一節數學課上，老師提出了一個這樣問題：如圖1，點P是正方形ABCD内一點，PA＝1，PB＝2，PC＝3，你能求出∠APB的度數嗎？

小明他通過觀察、分析、思考，形成了如下思路：

思路一：将△PBC繞點B逆時針旋轉90°，得到△BP′A，連接PP′，求出∠APB的度數；

思路二：将△APB繞點B順時針旋轉90°，得到△CP′B，連接PP′，求出∠APB的度數．

請參考小明的思路，任選一種寫出完整的解答過程．

【類比探究】

如圖2，若點P是正方形ABCD外一點，PA＝3，PB＝1，PC＝√11，求∠APB的度數．

【思路分析】（1）如圖（1）将△PBC繞點B逆時針旋轉90°得到△BP′A，連接PP′，得到等腰直角三角形△BP′P，從而得到PP′＝2√2，∠BPP′＝45°，又AP′＝CP＝3，AP＝1，

∴AP² P′P²=1 8=9= P′A²,∴根據勾股定理逆定理得∠APP′＝90°，從而求出∠APB＝45°＋90°＝135°；（2）如圖（2）将△PBC繞點B逆時針旋轉90°，得到△BP′A，連接PP′，方法和（1）類似，求出∠APB＝45°．

【解答過程】（1）如圖（1）将△PBC繞點B逆時針旋轉90°，得到△BP′A，連接PP′，

∵PB＝P′B＝2，∠P′BP＝90°，

∴PP′＝2√2，∠BPP′＝45°．

又AP′＝CP＝3，AP＝1，

∴AP² P′P²=1 8=9= P′A²，

∴∠APP′＝90°，∴∠APB＝45°＋90°＝135°．

（2）如圖（2）将△PBC繞點B逆時針旋轉90°，得到△BP′A，連接PP′，

∵PB＝P′B＝1，∠P′BP＝90°，

∴PP′＝√2，∠BPP′＝45°．

又AP′＝CP＝√11，AP＝3，

∴AP² P′P²=9 2=11= P′A²，

∴∠APP′＝90°，∴∠APB＝90°－45°＝45°．

方法規律：旋轉不改變圖形的大小和形狀,對應線段相等,對應角相等;對應點的連線與旋轉中心的夾角叫旋轉角.綜合複習時要注意證明推理和方程模型計算的綜合,要對條件進行合理猜想與推理,結合自己的解題經驗及對題目的把握靈活處理.

閱讀材料問題往往會提供一些解題方法或給出解題暗示，要求在理解的基礎上再進行問題的解答，或在閱讀材料中提供一些操作方法，要求同學們去模拟并探究，或提供一個解題過程，這種題不僅考查了同學們的閱讀能力，而且還綜合考查了同學們的創新意識及轉化能力.

類型4 圖形折疊型

圖形的折疊探究題近幾年在中考中間斷性出現,主要以操作探究為主,令學生置身于數學的問題發現與解決中, 一般在最後3題中一題，以綜合與實踐出現,考查學生分析問題和解決問題的能力.常綜合平行線、等腰三角形(等邊三角形)、直角三角形、平行四邊形、矩形、正方形等知識為一體,借助邏輯推理一步一步證明,建立方程模型思想,如常見的通過勾股定理、相似三角形對應邊成比例、解直角三角形、面積法、平行線分線段成比例定理等得出關于未知數的方程,從而求解.

例4．（2018雲南昆明中考題）如圖1，在矩形ABCD中，P為CD邊上一點（DP＜CP），∠APB＝90°，将△ADP沿AP翻折得到△AD＇P， P D＇的延長線交AB邊于點M，過點B作BN∥MP交DC于點N．

（1）求證：AD²＝DP·PC；

（2）判斷四邊形PMBN的形狀，并說明理由；

（3）如圖2，連接AC，分别交PM，PB于點E，F．若DP/AD=1/2，求EF/AE的值．

【思路分析】本題考查相似三角形的綜合問題，涉及相似三角形的性質與判定，菱形的判定，直角三角形斜邊上的中線的性質等知識，綜合程度較高，需要學生靈活運用所學知識．

（1）根據四邊形ABCD是矩形，可證得AD＝BC，然後證明∠DAP＝∠BPC，即可證得△ADP∽△PCB；（2）先證明四邊形PMBN是平行四邊形，然後由△ADP沿AP翻折得到△AD＇P，可證得∠APM＝∠PAM，再根據∠APB＝90°，可證明∠PBA＝∠BPM，即可得證；（3）設DP＝a，可根據DP/AD=1/2，AD²＝DP·PC，求得PC＝4 a，AB＝5a，PM＝BM＝5a/2，然後證明△CFP∽△AFB，求得CF/AC的值，再證明△AEM∽△CEP，求出EF/AC的值，從而求出EF/AE的值．

【解答過程】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠D＝∠BCD＝90°，又∵∠APB＝90°，∴∠DAP＋∠APD＝90°，∠APD＋∠BPC＝90°，∴∠DAP＝∠BPC，又∵∠D＝∠BCP＝90°，∴△ADP∽△PCB，∴AD/PC=DP/CB，又∵AD＝BC，∴AD/PC=DP/AD，AD²＝DP·PC；

（2）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥DC，即PN∥BM，又∵BN∥MP，∴四邊形PMBN是平行四邊形，∵△ADP沿AP翻折得到△AD＇P，∴∠APD＝∠AP D＇，又∵AB∥DC，∴∠APD＝∠APM＝∠PAM，又∵∠APB＝90°，∴∠APM＋∠PBA＝90°，∠APM＋∠BPM＝90°，∴∠PBA＝∠BPM，∴PM＝BM，∴平行四邊形PMBN是菱形；

（3）設DP＝a，∵DP/AD=1/2，∴AD＝2DP＝2 a，又∵AD²＝DP·PC，∴（2 a）²＝a·PC，解得PC＝4 a，∴AB＝CD＝DP＋PC＝5a，又∵PM＝BM，∴PM＝BM＝5a/2，∵AB∥DC，∴∠CPF＝∠ABF，又∵∠PFC＝∠BFA，∴△CFP∽△AFB，∴CF/AF=CP/AB=4a/5a=4/5，∴CF/AC=5/(5 4)=5/9，∵AB∥DC，∴∠CPE＝∠AME，又∵∠PEC＝∠MEA，∴△AEM∽△CEP，

【易錯點睛】此類問題容易出錯的地方是第2問看圖形隻能得到平行四邊形，沒有進一步思考，第3問用2次相似，不太容易想到

【方法規律】（1）從要證明的式子AD2＝DP·PC來看，很容易想到相似；（2）從題中條件可以先證明平行四邊形，再有直角的條件，就可以證明角平分線，不難證明菱形（3）設DP＝a，再想辦法把其他能用參數a表示的邊都表示出來，把要求的線段的比表示出來。

折疊前後,圖形的大小和形狀不變,對應線段相等,對應角相等.綜合複習時要注意證明推理和方程模型計算的綜合,要對條件進行合理猜想與推理,結合自己的解題經驗及對題目的把握靈活處理.

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