幾何坐标求線段最值-tft每日頭條

幾何坐标求線段最值

科技更新时间:2024-12-28 06:15:21

讀者朋友們的問題越來越多，而我的精力十二分的有限.

必然是有所選擇，那些下大功夫、用心思考的朋友更可能得到交流的機會.

一個會提問的栗子.

昵稱為“青海湖”的讀者朋友這樣問到：

左老師，求助這樣一道題.

在直角坐标系中，已知射線OA：x-y=0(x>=0)，OB：2x y=0(x>=0).

過點P（1,0）作直線分别交射線OA，OB于點A，B.

當|PA|*|PB|取最小值時，求直線AB的方程.

如果是這種情況，解法簡單.

不是坐标軸了，乘積最小值，網上的答案計算很多.

請教左老師，有沒有其他解法？

這位讀者朋友應該是認真看了《互動的正确姿勢》，并且真正在實踐這些提問的原則.

大家注意看，他問了一道題.然後找了一道相似的題目，談了它們的差異.并且自己通過搜題軟件找到了答案，但是覺得運算量太多，想了解有無更優解法.

2

用直線的參數方程優化求解

這道題畫出圖來是這樣的.

直線AB過定點P，而我們所求的兩條線段PA，PB都有端點P，這就非常适合采用直線的參數方程求解.

其中（1，0）是定點坐标.α是直線的傾斜角，t表示從定點出發的有向線段的數量.

t是有正負的.若某點在P點上方， t為正值，比如本題中的點A，其對于的t值為正；若某點在P點下方，t為負值，比如本題中的點B，其對應的t值為負.

注意到有向線段的正負，我們得出兩條線段長乘積的表達式.

這是一個關于角α的函數，為便于求最值，我們做如下變形.

這是一個齊次分式，可以化為正切.但是首先要讨論餘弦值是否為零.

不管是從圖形上看，還是從表達式本身來看，都能确定k>1或k<-2.

下面的任務就是求函數f(k)在k>1或者k<-2上的最小值.

用導數法比較直接，用分離、構造基本不等式的做法反而不易操作，不推薦.

過程不再贅述，給出答案.

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