f (x)含三角函數、指數函數、或其他超越函數時，就是超越方程。

可以通過函數圖像來确定函數實根的個數。

叠代步驟：

方 程 ： f (x) = 0

構造叠代函數：x = jФ (x) 經過簡單變形産生叠代序列：xn 1 = jФj (xn)，n =0，1，… 給定叠代初值 x0

思考問題：2個

1.叠代表達式x = jФ (x)是否唯一？

2.叠代産生的序列是否一定會收斂？

例：用點叠代方法求解方程 x3 -x2 -x-1 = 0

解： 第一步 構造叠代函數： x=jФ (x)

叠代舉例-Matlab實現程序 第二 / 三步 叠代 初始值 設定初值 x0=1， xn 1 = jФ(xn)，n =0，1，… 用 MATLAB 編程 x(1)=1;y(1)=1;z(1)=1; %初始點 for k=1:20 x(k 1)=x(k)^3-x(k)^2-1; % j 1 (x) y(k 1)=(y(k)^2 y(k) 1)^(1/3); % j 2 (y) z(k 1)=1 1/z(k) 1/z(k)^2; % j 3 (z) end x,y,z

加速叠代收斂

若 x= jФ (x) 叠代不收斂，則不直接使用j (x)叠代，

而用由jФ (x)與x的加權平均：

h(x) = lλ Ф j (x) (1- λ )l x

①單變量方程1）符号方程

f (x)= 0

例1： 求解方程 ax2 bx c = 0

2)數值方程

例2： 解方程：x3-2x2=x-1

3）超越方程

例3：tan(x)-sin(x)=0

4）方程組

1、方程(組)， f1(x) = 0,…, fn(x) = 0, x = (x1,…,xn) solve

solve('f1(x)’,'f2(x)’,…,'fn(x) ’)

例 4

2、方程(組)， f1(x) = 0,…,fn(x) = 0, x = (x1,…,xn) fsolve

x = fsolve (‘fun’, x0)

fun.m

function f = fun(x)

f(1)= f1(x) ;

……

f(n)= fn(x) ；

例5：求解方程組

解：1）建立方程組的M-函數文件(fun1.m)

function eq=fun1(x)

eq(1)=2*x(1)-x(2)-exp(-x(1));

eq(2)=-x(1) 2*x(2)-exp(-x(2));

在命令窗口中輸入如下命令： [x,fv]=fsolve(@fun1,[0,0])

%x為方程組的解，fv為解對應的函數值

輸出結果為：x= 0.5671 0.5671

例7：求解多項式方程 x9 x8 1=0

多項式方程： amxm am-1xm-1 … a0 = 0 roots

p=[am, am-1, …,a0]；

roots(p)

特點：可以找出全部根。

線性方程組： AX = b

其中A是m×n階矩陣，b是m維向量。

x=A \b

or x=inv(A)*b

特點：隻能求出一個特解。

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