質數合數必考知識點?數學競賽中，常常涉及質數問題，而對于質數問題，往往隐藏着質數2，一旦發現了2，問題便迎刃而解．質數2究竟有哪些特征和性質呢？首先，質數2是最小的質數，又是質數中唯一的偶數，它有以下的簡單的性質：，今天小編就來聊一聊關于質數合數必考知識點?接下來我們就一起去研究一下吧!

質數合數必考知識點

數學競賽中，常常涉及質數問題，而對于質數問題，往往隐藏着質數2，一旦發現了2，問題便迎刃而解．質數2究竟有哪些特征和性質呢？首先，質數2是最小的質數，又是質數中唯一的偶數，它有以下的簡單的性質：

1．若兩個（或偶數個）質數的和、差為奇數，則其中必有一個質數是2；

2．若三個（或奇數個）質數的和、差為偶數，則其中必有一個質數是2；

3．若幾個質數的積為偶數，則其中必有一個質數是2；

4．大于2的質數都是奇質數．

利用這些簡單的性質可以解決競賽中許多有關質數的問題．請看：

例1（2001年江蘇省初中數學競賽題）已知a是質數，b是奇數，且a^2＋b＝2001，則a＋b＝＿＿＿．

分析與解：因為a^2＋b＝2001為奇數，

所以a^2與b必為一奇一偶，

因為b為奇數，所以a^2是偶數，

因為a為質數，所以a＝2，

所以b＝1997，

所以a＋b＝1999．

例2（2013"希望杯"初一第2試）若a，b，c都是質數，其中a最小，且a＋b＋c＝44，ab＋3＝c，則ab＋c＝ ．

分析與解：因為a＋b＋c＝44為奇數，由性質2，知a、b、c中有一個數是質數2，

因為a最小，所以a＝2，

代入a＋b＋c＝44，ab＋3＝c，得

b＋c＝42，2b＋3＝c，

解之，得b＝13，c＝29，

所以ab＋c＝2×13＋29＝55．

例3（1996年北京初二數學競賽複賽題）p是質數，并且p^6＋3也是質數，則p^11－52＝ ．

分析與解：因為p為質數，所以p^6＋3＞2，由性質4，得

p^6＋3是奇數，

所以p^6是偶數，p是偶數，

又p是質數，所以p＝2．

所以p^11－52＝2 ^11－52＝1996．

例4（2000年希望杯試題）已知一個三角形的三條邊的長分别是a、b、c（a、b、c都是質數），且a＋b＋c＝16，則這個三角形是（ ）

A．直角三角形；B．等腰三角形；

C．等邊三角形；D．直角三角形或等腰三角形．

分析與解：因為a、b、c都是質數，且a＋b＋c＝16為偶數，

所以a、b、c中有一個是2，

不妨設c＝2，則a＋b＝14．

由三角形三邊關系，知|a－b|＜2，

所以滿足條件的質數a、b隻能是a＝b＝7，

所以三角形為等腰三角形，選B．

例5（1998年全國初中數學競賽題）若質數p、q滿足3p＋5q＝31，則p^q q^p的值是＿＿＿．

分析與解：因為3p＋5q＝31，所以3p與5q為一奇一偶．

若3p為奇數，則5q為偶數，從而q＝2，

代入已知式，得p＝7，從而p^q q^p＝177；

若3p為偶數，則p＝2，從而q＝5，

所以p^q q^p＝57．

綜上，p^q q^p的值為177或57．

例6（2013"希望杯"初一培訓題）自然數n是兩個質數的乘積，這個自然數包含1，但不包含n的所有因數的和等于1000，則n的值是（ ）

A．1994 B．1496 C．2090 D．2013

分析與解：設n＝pq（p、q為質數），

則由規定n的因數為1，p，q，

所以1＋p＋q＝1000，

所以p＋q＝999為奇數，

所以p、q中必有一個為2，

設p＝2，則q＝997，

所以n＝2×997＝1994．選A．

例7（1995年安徽省初中數學競賽題）已知p、q為質數，且p、q是方程x^2-19x m=0的兩根，則m＝＿＿＿．

分析與解：由根和系數的關系，得p＋q＝19，

因為p、q為質數，所以其中有一個是2，不妨設p＝2，

則q＝17，所以由pq＝m，

所以m＝2×17＝34．

例8（2001年全國初中數學競賽題）如果a、b是質數，且a^2－13a＋m＝0，b^2－13b＋m＝0，那麼b/a a/b的值為（ ）

A．123/22 B．125/22或2 C．125/22 D．123/22或2．

分析與解：若a＝b，則b/a a/b＝2；

若a≠b，則由已知等式知：a、b是關于x的方程

x^2－13x＋m＝0的兩根，

由韋達定理，得

a＋b＝13，ab＝m，

因為a、b為質數，所以a、b中必有一個是2，

由求值式中a、b的對稱性，不妨設a＝2，

則b＝11，m＝22，

故b/a a/b＝(a^2 b^2)/(ab)=[(a b)^2-2ab]/(ab)

＝125/22.

綜上，b/a a/b的值為2或125/22，選B．

例9（2002年江蘇省初一數學競賽題）已知三個質數a、b、c滿足a＋b＋c＋abc＝99，那麼｜a－b｜＋｜b－c｜＋｜c－a｜的值等于＿＿

分析：如果a、b、c都是奇數，則abc也是奇數，與已知不符，故a、b、c必有一個是偶質數2，不妨設a＝2，則b＋c＋2bc＝97，

若b、c全是奇數，則b＋c是偶數，與已知不符，故b、c中又有一個偶質數2，不妨設b＝2，則c＝19，

故｜a－b｜＋｜b－c｜＋｜c－a｜＝34．

例10（2013"希望杯"初一第1試）如果四個不同的質數的和為37，那麼這樣的四個質數乘積的最大值是 ，最小值是 ．

分析與解：設四個不同的質數為a、b、c、d，且a＜b＜c＜d，

則由a＋b＋c＋d＝37為奇數可知a＝2，

所以b＋c＋d＝35．

若b＝3，則c＋d＝32，

所以c＝13，d＝19，

所以abcd＝2×3×13×19＝1482；

若b＝5，則c＋d＝30，

所以c＝13，d＝17，

所以abcd＝2×5×13×17＝2210；

若b＝7，則c＋d＝28，

所以c＝11，d＝17，a

所以bcd＝2×7×11×17＝2618；

若b＝11，則c＋d＝24，

所以c＝11，d＝13，與b<c不符．

綜上，abcd的最大值為2618，最小值為1482．

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