對于全體正整數的和，大家也許看過下面這個等式，即

這怎麼可能呢？等式左邊都是正數，越加越大，怎麼最終會得到一個負數呢？

如果我們記前n和正整數的和為

那麼顯然

無論無何，全體正整數的和都不可能是-1/12。

我可以肯定地說，所謂的“全體正整數的和為－1/12”，就隻是一個噱頭。

正如這篇文章的标題一樣.

上面的式子是怎麼來的呢？

最本質的原因，是解析延拓。

解析延拓是複變函數中的概念，簡單地說，就是擴充一個函數的定義域，使之能夠在更大的區間上有意義。

這個擴充當然是有條件的擴充，要不然搞個分段函數随便擴充就沒什麼意義了。

先舉個最簡單的例子：對于函數

在的任意值處都等于1，而在處因為分母為零無意義。

我們可以定義一個新的函數

這樣實際得到一個恒等于1的常函數。

與f(z)相比，常函數的定義域更大了，而且在的定義域上，兩個函數相等。

這就是解析延拓：将函數f(z)進行了解析延拓，使之在更大的範圍内有了定義。

再看一個稍微複雜的例子，對于無窮級數

容易知道，g(z)的收斂域是，在這個範圍之外，g(z)發散，無定義。

接下來我們對g(z)進行解析延拓。

根據級數求和有關知識，我們知道，當時

而右邊這個函數的定義域是，不僅包含了g(z)的定義域，還比g(z)的定義域大得多。記

那麼函數就是對g(z)進行解析延拓後的函數。

在數學上可以證明，函數的解析延拓如果存在，那麼是唯一的。

既然是唯一的，那麼可以把這延拓前後的兩個函數看作是同一個函數。

對于解析延拓，我想了一個通俗的解釋：

不妨把函數取個名，叫”張三“，原來定義域小的函數就是剛出生的寶寶張三，解析延拓後的函數就是長大後學了高數的張三。嬰兒張三隻知道吃，而大學生張三不僅會吃，還會唱歌跳舞，多才多藝。

但張三，始終還是張三。

函數張三，也就是g(z)，在上的取值，形成了張三那獨一無二的”胎記”。現在我們看到另一個李四函數，，在上的取值與張三完全一樣，也就是說他倆具有完全一樣的“胎記”。我們有理由認為，李四，就是長大後的張三。

張三和李四是同一個人。

如果我們問張三寶寶，z=2時的取值是多少啊？

張三寶寶不知道。

那問長大後的張三呢？他會飛快地告訴你

那麼我們帶着這個答案，回過頭跟嬰兒張三說，z=2時你的取值是-1。

寶寶張三頓時懵了，啥？什麼玩意兒？

怎麼會是-1呢？

我們神秘一笑：等你長大了，你就知道了。

現在回到原來的問題：

全體正整數的和是-1/12，這句話是怎麼來的呢？

想必你已經猜到，這是解析延拓後的結果。

我們首先定義一個函數

這就是大名鼎鼎的Riemann zeta函數的寶寶期。

顯然有

為什麼說這是寶寶期呢？

因為顯然，右側級數求和的收斂區間是Re(z)>1，即z的實部大于1。對于z = -1<1，級數顯然是發散的。原始的定義是無能為力的。

這跟上一個例子中的函數張三g(z)是不是很相似？隻要我們做解析延拓，使之能夠在更大的範圍内有定義，就能計算z = -1處的取值了。

當然，對于這個函數，進行解析延拓就不是那麼容易的了。感興趣的可以參考黎曼的論文《論小于給定值的素數的個數》。

總而言之，我們可以對一開始的無窮級數進行解析延拓，使之在z=1以外的所有區域都有定義。

這樣，進行解析延拓後的函數，就是完全體的Riemann zeta函數了。

特别地，當z = -1時，完全體的Riemann zeta函數取值為-1/12,即

延拓前後，函數可以視為一個函數。

延拓前是寶寶，延拓後就長大了。

寶寶當然不知道

但長大後，

所以為了制造噱頭和裝13，我們直接這麼寫：

而且有了解析延拓，我們可以随手寫下更多充滿噱頭的公式

右邊其實就是的值而已。

既然“全體正整數的和”是-1/12，那麼“全體正整數的積“是多少呢？

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!