這是今日頭條網友分享的一道幾何題。感覺有難度。試做了一下。
幾何難題
這道題可以轉化為如下幾何題：
兩個等腰三角形△ABC和△ACE全等，一條腰AC重合，AG、AF是兩個三角形的高，D是高AF上的動點，當D移動到某個位置時，∠ACD=∠DBC，求∠ACD。
轉化幾何題
思考過程：
如果∠ACD是個定值，那麼對于任意的等腰三角形△ABC和△ACE這個結論都是成立的，當等腰三角形△ABC和△ACE為正三角形時結論也是成立的。容易證明，此時∠ACD=30°。再取等腰三角形△ABC和△ACE為等腰直角三角形證明，∠ACD也是30°。
找到了這個角度，怎樣證明在一般情況下結論成立呢？想到用圓來證明。
以A為圓心、AB為半徑畫圓，延長CA到H，CH是直徑，延長BD到F，延長CD到G。
根據圓的性質，可以得到很多相等的角度。四邊形AFGH是菱形，且一組對角是另一組對角的兩倍。也就是菱形相鄰的兩個内角是60°和120°，β=30°。證畢。
用圓證明幾何難題
這道幾何題的逆命題也是成立的。
D是等腰△ABC外一點，連結AD、BD、CD，如果∠ACD=∠DBC=30°，則∠BAC=2∠CAD。
網友們可以試證一下。
後記：網友們提供了很好的建議。這裡給出題目的另一種變形，供大家學習研究。
△ABC是等腰三角形。以AC為邊向外作等邊△ACE，連結BE。求證β=30°。
題目的一種變形
提示：α β γ=90°，α γ=60°，得β=30°。
追記：我們知道，β=30°時，條件∠BAC=2∠CAD成立。用反證法，如果β≠30°，有∠BAC≠2∠CAD，與題設矛盾。
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