終于講到正态分布了，在此特别說明一下，本頭條關于數學知識的講解，重點是在于讓大家明白數學知識背後的含義，因為隻有深刻理解了其背後的含義，才能知其所以然，不然就很容易似懂非懂，遇到變形生疏的題目，難以跟所學知識點關聯上，也就不知道從何下手了。

一、正态分布數學表達

我們之前講述的二項分布、幾何分布，都是限定離散值數總數n的，也就是限定了試驗的總次數。而正态分布，恰恰相反，是不限定總試驗次數的，所以其n是可以無窮大的。凡是一個變量x，符合以下函數關系，稱為x符合正态分布，記為：

上述函數經過标準化後，稱為标準标準正态分布，記為，其函數形式為：

正态分布分布的曲線圖為：

标準正态分布圖

注意：1、正态分布圖的y坐标值，表示的是概率密度，而不是概率，而正态分布曲線下的陰影面積，是x取值-1至1之間範圍的總概率。很多人都誤以為正态分布圖的y值就是x值對應的概率值，這是錯誤的。2、正态分布的均值（也就是值）的概率密度是最大的，以均值為中心，左右兩邊的概率密度是對稱的，因此，正态分布的均值、中位數都是一樣的。3、由于正态分布函數，是關于概率密度的函數，所以求某個x值對應概率是沒有意義的，隻有求某個x值範圍的概率。其實某個x值範圍的概率，就是f(x)對某個x值範圍進行求定積分。

二、正态分布标準轉換

标準正态分布，其概率分布表如下：

這裡一定要注意，這個表的某個x值對應的概率，其實際含義是x值小于等于該值的範圍的累計概率，千萬别理解為，x值對應的概率。如上表中，x=1.0的概率值是0.8413，其含義是x<=1的範圍的累計概率值，也就是圖中紅色陰影部分的面積。記為公式的話，就是：對于非标準正态分布，可通過以下公式進行标準轉換（也叫Z轉換）後查表得出相應的概率值。，所以

對于非标準正态分布概率計算，上述公式要明白，并能快速的把求某個x值範圍的概率，轉化為求某個z值範圍的概率，這樣就能通過查标準正态分布概率表獲得對應的概率值。

三、正态分布概率計算關系公式

關于正态分布概率計算，根據正态分布的左右對稱性，結合，可推導出以下關系公式：

四、二項分布與正态分布

在 高中概率統計專欄之三-二項分布 文章裡提過，當n值較大時，求大于某個x值範圍的概率，會出現需列舉計算很多個x值概率的問題，其實對于n值較大，二項分布就是無限近似于正态分布，可以采用正态分布概率計算公式來計算二項分布的範圍概率的，其滿足條件是：

也就是說，當二項分布的n值足夠大，使上述公式成立時，即可使用正态分布概率公式計算二項分布的範圍概率。其計算公式如下：

當 ，且，則

這裡要注意，計算Z值的公式裡的x的取值，需要在a的基礎上 -0.5，具體是 還是-，是根據計算的概率是否包含a值來決定的，如果包含a值，那麼取a 0.5，如果不包含a值，則取a-0.5。根據正态分布對稱特征，容易推導出：

當P(x<a)或P(x>=a)，不含a的概率，則計算Z值時，x取a-0.5

當P(x>a)或P(x<=a)，含a的概率，則計算Z值時，x取a 0.5

這樣通過上述公式計算出Z值，再查标準正态分布概率表，即可獲得對應的概率值。

五、對立面思維

在計算二項分布、幾何分布、正态分布概率時，我們一定要利用好對立面思維，來找到更快捷的途徑來計算概率。因為這幾項概率分布，都遵守總概率等于1的原則，所以我們要求某個條件的概率，如果計算複雜，可以考慮從這個條件的對立面去計算概率，根據總數為1的原則，正面計算複雜，那就意味着反面計算簡單。舉例：

正态分布下，要求，其對立面就是，所以可以通過，求得的概率值。

二項分布下，n=15，求P(x>3)，其對立面就是P(x<4)，其實就是求。

大家在面對概率題目時，有時候多使用這種對立面思維，解題立馬簡單了。

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