有關有理數和無理數的試題有答案?命題1、 數1是最小的正整數我們這裡用兩種方法證明一個是數學歸納法原理和另一個良序原理，下面我們就來聊聊關于有關有理數和無理數的試題有答案?接下來我們就一起去了解一下吧!

有關有理數和無理數的試題有答案

命題1、 數1是最小的正整數。

我們這裡用兩種方法證明一個是數學歸納法原理和另一個良序原理。

證明1：（根據數學歸納法原理）我們可命S為所有＞或=1正整數集合，顯然，1是在集合S内。如果正整數n在S内，則n＞或=1，于是n 1＞n＞或=1，因此正整數n 1也在S内。依據由數學歸納法原理，我們則得知S=N。所以，得出結論為，每一個正整數大于或等于1.

證明2：（根據良序原理）我們從良序原理得知：有一最小的正整數，例如為s,我們假設s＜1.現将不等式0＜s＜1同時乘以s,則得出0＜s^2＜s,這樣我們得出：s不是最小正整數，這就引出了一個矛盾的結果，故此假設不成立，所以1是最小的正整數。證畢。

我們在這裡可以分析一下，良序原理是說任何非空的正整數集有一最小的數。它的最小的數是1.那麼在數學歸納法原理裡n 1也是在正整數集S裡。是不是可以得到一個結論：如果n是一整數，則在n與n 1之間就沒有整數。我們來證明一下。

我們假設有這麼一個整數，為l，它使得n＜l＜n 1.可得這個式子，即0＜l-n＜1，這個結論與1是最小的正整數的命題相矛盾。所以推論是正确的。

命題2.數學歸納法原理與良序原理是等價的。（這個意思是說：我們能夠從一個推出另一個來，隻要假定通常的整數的算術性質被滿足的話。）

證明：假定良序原理成立，并命S為正整數的集合，我們就必須證明S就是一切正整數的集合N.

命T為不在S内的所有正整數的集合。若T是非空的，則由良序原理便得：T有一最小的數，比方說t.因為1是在S内的最小正整數，于是t＞1.故t-1是一正整數，又因為t-1＜t，它必在S内。再由S的性質可肯定t也在S内，這是一個矛盾，因為S與T是不相交的集。這就說明假設“T是非空的”引出了一個矛盾，所以它是錯誤的，因此集T是空的，從而S=N.

假設數學歸納法原理成立，再設有一非空的正整數集，比方說S，它沒有一個最小的數。因為1是最小的正整數，則1不在S内，因而它小于S的所有的數。

命T為所有如下的正整數的集，它們都小于S的所有的數。由上證明可見1是在T内。假設整數n是在T内，如果n 1是在S内，則由于在n與n 1之間沒有整數，n 1是S的最小的元素，但這與我們關于S的假設矛盾。所以如果n是在T内，則n 1必須也在T内。由數學歸納法原理則知T包含所有的正整數，因而S是空的。但這與我們原來的假設“S是非空的”相矛盾。故若S是一個非空的正整數集，則S有一最小的元素，從而證明完畢。

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!