知識儲備

1．平行四邊形的面積公式是S＝底×高；

2．等面積法：将同一圖形或相等面積的圖形的面積用不同的方法表示出來從而得到等式，建立方程解決問題的方法。

3．由習題總結的規律：若一條直線經過平行四邊形對角線的交點，則這直線平分平行四邊形的周長和面積；

4．基礎圖形及結論：圖形中陰影部分的面積是平行四邊形面積的一半

分類解析

類型1　數形互助

1．如圖是一個由5張紙片拼成的平行四邊形，相鄰紙片之間互不重疊也無縫隙，其中兩隻等腰直角三角形紙片的面積都為m，另兩張直角三角形紙片的面積都為n，中間一張正方形紙片的面積為1，則這個平行四邊形的面積一定可以表示為（ ）

A．4mB．4nC．4n 1D．3m 4

【分析】設等腰直角三角形的直角邊為a，正方形邊長為c，求出S2（用a、c表示），得出S₁，S₂，S₃之間的關系，由此即可解決問題．

【解答】設等腰直角三角形的直角邊為a，正方形邊長為c，

則S₂＝1/2（a c）（a﹣c）＝1/2a²﹣1/2c²，

∴S₂＝S₁﹣1/2S₃, ∴S₃＝2S₁﹣2S₂，

∴平行四邊形面積＝2S₁ 2S₂ S₃＝2S₁ 2S₂ 2S₁﹣2S₂＝4S₁＝4m，

故選：A．

【點評】本題考查平行四邊形的性質、直角三角形的面積等知識，解題的關鍵是求出S₁，S₂，S₃之間的關系，屬于中考常考題型．

類型2　等面積法

2．如圖，已知平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，如果AE＝3cm，AF＝4cm，▱ABCD周長是28cm，求▱ABCD的面積．

【分析】由▱ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，可得S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF，又由AE＝3cm，AF＝4cm，可得3BC＝4CD，又由▱ABCD的周長為28cm，可得BC CD＝14cm，繼而求得答案．

【解答】∵▱ABCD的周長為28cm，∴BC CD＝14cm，

∵▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，

∴S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF

∵AE＝3cm，AF＝4cm，∴3BC＝4CD，

∴BC＝8cm，CD＝6cm，

∴ABCD的面積＝8×3＝24cm2．

【點評】此題考查了平行四邊形的性質以及平行四邊形的面積公式運用，此題難度适中，注意掌握方程思想與數形結合思想的應用．

3.我們知道：平行四邊形的面積＝（底邊）×（這條底邊上的高）．

如圖，四邊形ABCD都是平行四邊形，AD∥BC，AB∥CD，設它的面積為S．

（1）如圖①，點M為AD上任意一點，則△BCM的面積S1＝ S，

△BCD的面積S₂與△BCM的面積S₁的數量關系是________ ．

（2）如圖②，設AC、BD交于點O，則O為AC、BD的中點，試探究△AOB的面積與△COD的面積之和S₃與平行四邊形的面積S的數量關系．

（3）如圖③，點P為平行四邊形ABCD内任意一點時，記△PAB的面積為Sˊ，△PCD的面積為S″，平行四邊形ABCD的面積為S，猜想得Sˊ、S″的和與S的數量關系式為 ．

（4）如圖④，已知點P為平行四邊形ABCD内任意一點，△PAB的面積為3，△PBC的面積為7，求△PBD的面積．

【分析】（1）設▱ABCD中BC邊上的高為h₁，CD邊上的高為h₂，再根據平行四邊形的面積與三角形的面積公式求解即可；

（2）根據O為AC、BD的中點，故可得出S ₃＝S△AOB S△COD＝1/2S△ABD 1/2S△BCD＝1/2（S△ABD S△BCD）＝1/2S；

（3）設▱ABCD中CD邊上的高為h ₂，△PAB中AB邊上高為h ₃，△PCD中CD邊上的高為h4，再根據平行四邊形的面積與三角形的面積公式求解即可；

（4）根據S△PBD＝S四邊形PBCD﹣S△BCD＝S△PBC S△PCD﹣S△BCD即可得出結論．

【解答】（1）設▱ABCD中BC邊上的高為h ₁，CD邊上的高為h ₂，

∵S▱ABCD＝BC•h ₁＝CD•h2＝S，

S△BCM＝1/2BC•h ₁＝1/2S，S△BCD＝1/2CD•h ₂＝1/2S，

∴S ₁＝1/2S，S₁＝S₂（或相等）．

故答案為：1/2；S₁＝S₂；

（2）S₃＝1/2S

理由：∵O為AC、BD的中點，

∴S₃＝S△AOB S△COD＝1/2S△ABD 1/2S△BCD＝1/2（S△ABD S△BCD）＝1/2S；

（3）設▱ABCD中CD邊上的高為h2，△ABP中AB邊上高為h₃，△PCD中CD邊上的高為h4，

∵AB∥CD，∴h₃ h4＝h₂，

∴S△PAB S△PCD＝1/2AB•h3 1/2CD•h4＝1/2AB（h3 h4）1/2AB•h2＝1/2S，即S′ S″＝1/2S；

故答案為：S′ S″＝1/2S；

（4）∵S△PAB S△PCD＝1/2S＝S△BCD，S△PAB＝3，S△PBC＝7，

∴S△PBD＝S四邊形PBCD﹣S△BCD＝S△PBC S△PCD﹣S△BCD，即S△PBD＝7 （1/2S﹣3）﹣1/2S＝7﹣3＝4．

【點評】本題考查的是平行四邊形的性質，熟知平行四邊形及三角形的面積公式是解答此題的關鍵．

類型3　條件不明确分類讨論求解

4．在平行四邊形ABCD中，AB＝4，BC＝5，過點A作AE垂直直線BC于點E，AE=2√3．

（1）平行四邊形ABCD的面積為_______ ；

（2）若再過點A作AF垂直于直線CD于點F，求CE CF得值．

【分析】（1）由平行四邊形的面積公式進行計算；

（2）根據平行四邊形面積求出AE和AF，有兩種情況，求出BE、DF的值，求出CE和CF的值，相加即可得出答案．

【解答】（1）如圖，∵BC＝5，過點A作AE垂直直線BC于點E，，

∴平行四邊形ABCD的面積為：BC•AE＝5×2√3＝10√3；

故填：10√3；

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB＝CD＝4，BC＝AD＝5．

①由平行四邊形面積公式得：BC×AE＝CD×AF＝10，則AF＝5√3/2．

在Rt△ABE和Rt△ADF中，由勾股定理得：AB2＝AE2 BE2，

把AB＝4，AE＝2√3代入求出BE＝2，

同理DF＝5/2＜4，即F在線段DC上（如圖1），

∴CE＝5﹣2＝3，CF＝4﹣5/2＝3/2，

即CE CF＝3 3/2＝4.5，

②如圖：∵AB＝4，AE＝2√3，在△ABE中，由勾股定理得：BE＝2，

同理DF＝5/2．則CE＝BC BE＝5 2＝7，CF＝CD DF＝4 5/2＝6.5，

∴CE CF＝7 6.5＝13.5；

故答案為：4.5或13.5．

【點評】本題考查了平行四邊形性質，勾股定理的應用，主要培養學生的理解能力和計算能力，注意：要分類讨論．

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