這個問題首先可以從一元函數的微分入手。
首先是高階無窮小的定義：
上圖是高階無窮小的來曆。
微分定義中出現了高階無窮小。
圖0
以上證明過程可以清晰看到微分中高階無窮小出現的原因。首先是根據導數的定義得出a,這個a是肯定會随着Δx趨于0而趨于0的，因為Δy/Δx就是導數的定義，而當Δx趨于0的時候，導數得到精确值f(x0)，所以a是Δx趨于0時候的無窮小，a再乘以Δx得到aΔx，當然就是Δx趨于0時的高階無窮小。
以上是極限的定義。
以上是Δy和dy是等價無窮小的證明，所以兩者在Δx趨于0時可以相互替代。
上圖是Δy和dy的幾何意義。對于x軸上固定兩點x和x Δx，Δy表示的是曲線上相對應兩點的高度變化，也就是函數值的變化；dy表示的是切線上相對應兩點的高度變化。很明顯，當Δx趨于0時，兩者趨于一緻。高階無窮小就是曲線上變化的高度減去切線上變化的高度Δy-dy。
下面是多元函數的情況。
圖1
上圖證明過程中，通過多元函數的連續定義，引入了無窮小epsilon1。為了搞清楚這個問題，首先看多元函數的極限定義：
圖2
然後是多元函數連續性定義：
圖3
與一元函數連續性定義對比：
圖4
上圖中出現了epsilon。與圖1對比，f(x)就是
，而f(x0)就是
圖4中的epsilon肯定會随着x趨于x0而趨于0，這一點很容易由下圖的連續函數幾何意義看出來：
上圖中的Δy就是f(x)-f(x0)。很明顯，當Δx趨于0時，Δy也趨于0。
而對于多元函數來說，這個Δx就是下圖中的PP0,也就是圖1中的epsilon1。很明顯，這個epsilon1就相當于圖0中的a，而PP0也相當于圖0中的Δx，所以圖1中的epsilon1會随着PP0(也就是p)趨于0而趨于0。
上圖的目的正是為了證明全增量Δz與全微分dz之間的差距
是圖2中
的高階無窮小。
全增量Δz與全微分dz的幾何意義如上圖。由于
從切平面的方程可以看出，由于z-z0就是dz，x-x0就是dx，y-y0就是dy。
如上圖所示，假設A點坐标是（x,y）,B點坐标是
則由這兩點在xoy平面向上作兩條垂線（這裡過A點的垂線與曲面的交點就是M），與切平面交點之間的高度差就是全微分
，而與曲面兩個交點之間的高度差就是全增量
,
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