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怎麼表示直線的方程

生活更新时间:2025-02-07 11:41:48

我們知道，一條直線可以用一個一次方程表示，比如ax by c=0

那麼，要用一個方程表示兩條直線，比如

怎麼表示直線的方程（用高次方程表示直線）1

這個想法來源于雙曲線的漸近線。

很顯然，

怎麼表示直線的方程（用高次方程表示直線）2

拓廣開去，一個高次方程如果可以分解成若幹個一次方程，它就可以表示若幹條直線。

怎麼表示直線的方程（用高次方程表示直線）3

在解題上，這個因式分解有一個漂亮的解法，叫雙十字相乘法。但我不想在這裡介紹這個方法，以後有機會我再單獨寫一篇，或者哪位朋友能幫我寫一篇投稿。

我老老實實用高中生常用的方法來分解。

怎麼表示直線的方程（用高次方程表示直線）4

注：事實上，一個二元二次式能不能被分解成兩個二元一次式相乘，并不是一件非常容易判斷的。但我可以肯定說，如果能分解，就表示兩條直線，如果不能分解，就表示一條圓錐曲線了。(盡說廢話)

怎麼表示直線的方程（用高次方程表示直線）5

這次我們将次數提高一點，三次方程當然可能表示三條直線，如果能分解的話。

我們用高中的知識儲備試試。

題目中的方程，隻有x沒有y，顯然它表示的直線是三條垂直于x軸的直線。

分解三次式，數學佬隻會用“試根法”

怎麼表示直線的方程（用高次方程表示直線）6

試根法沒有出現在我們的課本中，可是高考是真需要的，偶爾有題目用得上。

(說個悄悄話，我在考試時，隻試x=±1,±2這幾個根，如果都不是，我就放棄這個題，因為考場沒時間讓我磨叽，當然我還沒遇到過這種悲慘。)

怎麼表示直線的方程（用高次方程表示直線）7

呃，二元三次式啊，分解有點難了。

不過我觀察發現，這個式子是個齊次式，每一項都是三次

也就是說它一定經過原點

也就是說，我們隻要求斜率就夠了

因此我可以将它轉換一下

怎麼表示直線的方程（用高次方程表示直線）8

其實，如果三次方程能分解成三個一次方程，它就表示三條直線；如果能分解成一個一次，一個二次，它就表示一條直線和一條圓錐曲線；如果不能分解，它本身就是一條三次曲線。

三次曲線本身就非常迷人。

更高次？

……算了，超出我的智商範疇啦。

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