一道高中幾何題-求三角形的中線
三角形ABC中,BC = √2, CA = 6,角ACB = 135°。如果CD是
AB的中點,求CD的長度是多少?
解:
方法1:三角法
如圖做AE平行于中線CD, 延長BC與AE相交于E,
顯然CD=AE/2, 現在求出AE就求出了CD,
但在三角形ACE中,有CE=BC=√2, CA=6,∠ACE=45°,
根據餘弦定理:
AE2=62 2-2·6·√2·cos45°
由此得AE=√26
所以中線CD=(√26)/2
方法2:解析法
将點B置于原點,C點的坐标為(√2, 0)A點的坐标則為(4√2, 3√2)
那麼AB中點的坐标為D(2√2, (3√2)/2), 根據兩點之間的距離公式CD的長度為:
方法三:本題的另一種解法,是利用一個定理,這個定理被稱作斯圖爾特定理,其證明方法參見斯圖爾特定理的證明。
這個公式要求知道三角形的三個邊,然後套用公式即可以求出中線的長度。
首先用餘弦定理求出135°所對應的邊為5√2, 然後即可求出結果。
這裡省略。
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