兩點之間總是直線最短嗎？

不，直線并不總是兩點之間最短的距離。 兩點之間的最短距離取決于物體的幾何形狀。 對于平面來說，直線确實是最短的距離，但對于像地球這樣的球面來說，大圓距離實際上代表了真正的最短距離。

我們所有人在很小的時候就被教導“直線段是兩點之間最短的距離”。 然而，如果有人告訴你這句曆史悠久的格言并不完全正确，你能夠接受嗎?

事實證明，這種說法隻是部分正确。 兩點之間的最短距離實際上取決于所讨論物體的幾何形狀。

如果我們生活在一個平坦地球(但不是),那麼是的,一條直線将是A和B點之間最短的距離。不過,地球是一個近似球體,兩點之間最短的距離是一個球體的表面的一個弧長，稱為“大圓距離”。

大圓距離

大圓距離并不是一個新概念; 事實上，你們很多人已經看到了它的作用。

乘過飛機或隻檢查過航線的人可能已經注意到，航班不是沿着直線飛行，而是沿着彎曲的路線到達目的地。 而它們實際上是地球上任何兩個給定地點之間最短的距離。

這些彎曲的路線常常令人困惑，因為這些路線是在平面的二維地圖上勾勒出來的，在那裡直線似乎是最短的距離。 然而，沒有一個二維的地球地圖是準确的。

我們大地之母“地球”是一個三維空間，最好使用模型地球儀展示。 然而，當一個人試圖将球體平展成一個矩形的形狀，就像大多數地圖做的那樣，古老的扭曲難題就會成為焦點。 大多數矩形地圖會标明國家的形狀、大小、中間距離，甚至是便于理解的合法信息。

地球上所有的地圖都是不精确的。想象一下，你想從老鼠橫行的紐約飛到愛之城巴黎。 在地球儀上，這兩個城市之間最短的距離約為3630英裡，但同樣的弧線，在2D地圖上投影後，會變成約3750英裡的直線。

這一點你可以在在谷歌地圖上自己去驗證。

兩個數之間的差異(3750 - 3630 = 120英裡)看上去不像是很大,但考慮到波音747每英裡平均消耗5加侖的燃料,飛機需要額外的(5加侖/英裡×120英裡=)600加侖(2250升)，這會增加機票的成本。

數學上的大圓距離

從純粹的數學角度講，大圓(也稱為球面測地線)是畫在圓心與圓心重合的球面上的任何圓，從而将球面分成相等的兩半。 簡單地說，大圓是球體上能刻出的最大的圓。 另一方面，小圓是指圓心和球心不重合。

想象(或檢查下圖)沿着赤道或兩極切割地球。 在這兩種情況下産生的半球是相等的，這些半球的面将具有與球體(地球)本身相同的直徑和中心。

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球面(地球)上任意兩個非直徑點，隻存在一個唯一的大圓，而球面上的直徑點（過球心的直徑的兩個端點），可以畫出無數個大圓。 這些點把圓分成兩條弧; 較小的圓弧表示兩點間的真正最短距離，稱為大圓距離。

下圖中，點P和Q是兩個非徑點，弧PQ表示兩者之間的最短距離(大圓距離)。 另一方面，點u和點v被稱為對映點或完全相反的點，把大圓分成兩條相同的弧。

弧PQ表示兩點之間的最短距離。

其中，d是大圓最短距離距離，r是球面(地球)的半徑，cos-1(cos σ1 .cos σ2 .cos (λ1 - λ2) sin σ1 .sin σ2)是坐标分别為σ1， λ1和σ2， λ2的兩點所對應的圓心角，σ1，和σ2是維度角，λ1和 λ2是經度角。 注意反餘弦得出的角度是弧度。

結尾

球面(地球)上任意兩個非直徑點(點)，隻存在一個唯一的大圓，而球面上的直徑點，可以畫出無數個大圓。 如前所述，大圓主要用于長途旅行，特别是空中和海上航行。 由于大圓距離的彎曲性質，加上地球的自轉，飛行員和水手們不斷地調整航向。 因此，一個大圓的距離被分解成“恒等線”，代表一個恒定的方向。

盡管如此，即使是大圓的距離也不能代表兩個給定位置之間真正的最短距離。 大圓距離的計算假設地球是一個完美的球體，但行星更像是一個面向赤道和兩極的半徑不同的扁平球體。 因此，大圓值的公差約為±5%。

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