我們經常使用這樣的方式來表示一個向量，比如(3,2),之所以可以這樣表示是存在前提的，這個前提就是我們默認以(1,0)和(0,1)叫做二維空間中的一組基，隻有以它們為默認的一組基的時候，向量才可以這樣的表示。也就是下方藍色線所示的：
那麼這個向量(紅色)在x軸投影為3，在y軸的投影為2。那麼這個向量就可以表示為(3,2)
總的來說可以通過下方的格式來表示：
其中x=3，y=2。所以總的來說要準确描述向量，首先要确定一組基，然後給出在基所在的各個直線上的投影值，就可以了。之所以我們沒有确定一組基而直接說向量表示，是因為這組基是默認的，我們從小到大都使用這組基。選擇(1,0)和(0,1)為基，會方便表示，因為它們分别是x和y軸正方向上的單位向量。
要想成為基，必須滿足線性無關的條件，這是必須的。為了讓基更好用，我們一般讓基正交，這樣的基更方便表示向量。所以隻要滿足線性無關的條件就可以表示為基，比如(1,1)和(-1,1)也可以成為一組基，因為它們線性無關。
同時一般我們還想讓基的模為1，因為我們知道準确描述向量，首先要确定一組基，然後給出在基所在的各個直線上的投影值。根據a.b=|a||b|cosθ可知，當b的模為1的時候，此時a.b=|a|cosθ，也就是說可以通過a與b的點積來直接計算投影，也就是向量在這個基下的坐标，那麼計算投影就很方面了。
基變成模為1非常簡單，單位化就好了，比如(1,1)和(-1,1)可以單位化為
那麼這個向量(3,2)在這個新基下的坐标就是與它的點基了，也就是
我們通過可視化的方式來看一下：
藍色的就是新的基，而紅色的就是在這個新的基的基礎下的坐标了
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