立方差與立方和在課本上有嗎?作者 | 子曰在《數學女孩5：伽羅瓦理論》第7章中，村木老師給了泰朵拉紅、橙、黃、綠、藍、靛、紫的七張卡片，依次解開這7張卡片上的問題或算式，就可以導出三次方程的求根公式，下面我們就來聊聊關于立方差與立方和在課本上有嗎?接下來我們就一起去了解一下吧!
作者 | 子曰
在《數學女孩5：伽羅瓦理論》第7章中，村木老師給了泰朵拉紅、橙、黃、綠、藍、靛、紫的七張卡片，依次解開這7張卡片上的問題或算式，就可以導出三次方程的求根公式。
其中綠色卡片上的問題是：3次方的和，即
問題7-4(3次方的和)
假設三次方程 的解為 ，而且 與 的定義如下。
請用 和 表示 。
背面還寫了一個提示的式子，如下。
提示的式子（綠色卡片的背面）
初看此式（見原書第231頁），讓人有點摸不着頭腦。實際上，這是兩數的立方和在複數域上的因式分解，即：
或稱其為複數域上的立方和公式。它是怎麼得到的呢？下面就來給大家講解一下，順帶把立方差公式也一起講一下。
實數域上的立方和與立方差公式一般指：
在複數範圍内，右邊的二次三項式還可以繼續分解。
令 ，把它看成關于 的二次方程，由于判别式小于0，它在實數範圍内無解，但在複數範圍内可解得兩根為：
所以
在複數域上，1的三次方根有三個：，其中 , .
所以
所以，複數域上的立方差公式可以寫成：
對于 ，令 ，同理在複數範圍内可解得：
所以
由于
所以
以上，因為 是1的三次方根，所以 ，所以 , .
所以
所以，複數域上的立方和公式可以寫成：
至此，我們解開了“3次方的和”的秘密。
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