函數是高中數學的重點也是難點，而三角函數對于不少高中生來說更是難點中的難點。本文和大家分享一道1991年高考數學三角函數的真題：求函數y=(sinx)^2 2sinxcosx 3(cosx)^2的最小值，并寫出使函數y取最小值的x的集合。
這道題的難度并不大，但是不少同學卻感覺毫無思路，而學霸卻說太簡單了。下面我們一起來看一下這道題的解法。
要求函數y的最小值，那麼需要先進行變換，這一步也是解題的關鍵。
一些同學看到函數y的形式後，首先想到的變形是這樣的：
y=(sinx)^2 2sinxcosx 3(cosx)^2
=(sinx)^2 2sinxcosx (cosx)^2 2(cosx)^2
=(sinx cosx)^2 2(cosx)^2。
上面這個變形看似進行了簡化，但是到這一步後卻很難再進一步化簡，這也是一些同學做不出這道題的原因。
用三角恒等變換對三角函數化簡時，大方向是先降幂再化為同一個角的同一個名稱的三角函數，即化為y=Asin(ωx φ) B或者y=Acos(ωx φ) B的形式，然後再根據三角函數的性質求解。
所以本題求解過程需要用到兩個重要的公式，分别是：
降幂公式：
2(cosx)^2=cos2x 1；
2(sinx)^2=1-cos2x。
輔助角公式：
asinx bcosx=√(a^2 b^2)sin(x φ)，其中tanφ=b/a。
需要注意的是，降幂公式不需要單獨記憶，可以通過二倍角餘弦公式倒推得到。
按照這個思路，這道題的正确變形方法應該為：
y=(sinx)^2 2sinxcosx 3(cosx)^2
=(sinx)^2 (cosx)^2 2sinxcosx 2(cosx)^2
=1 sin2x cos2x 1
=sin2x cos2x 2
=√2sin(2x 45°) 2。
化簡到這一步後，要求y的最小值，那麼隻需要sin(2x 45°)=-1即可，即y的最小值為2-√2。此時，2x 45°=360°k-90°，解出x的值即為y取最小值時x的值，然後寫成集合形式即可。
這道真題考查的是三角函數的基本計算，隻要掌握了三角函數解題的基本思路，求出結果并不難。
這道題就和大家分享到這裡。
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