在立體幾何中，計算幾何體的最值往往有兩種方法：一是利用函數及重要不等式，二是利用化歸轉化思想将立體幾何中的極值問題轉化為平面幾何中的極值問題。另外，解決幾何體的相切、相接問題的關鍵是注意兩個幾何體之間的等量關系。

一. 利用三角函數求最值

例1. 已知三棱柱的底面是邊長為2的等邊三角形，側面

的菱形，且平面ABB₁A₁⊥平面ABC，M是A₁B₁上的動點。試求使二面角A₁-BM-C的平面角最小時的三棱錐M-A₁CB的體積。

分析：要使二面角A₁BM-C的平面角最小，必須先構建其平面角，如何構建？如圖所示，取AB中點O，在MB上找一點P，因為CO垂直MB，剩下的問題隻要使OP垂直于MB即可。這樣MB就垂直于平面CPO，則∠OPC就是所求的平面角。在Rt△COP中就轉化為求OP的最大值的問題，易發現此時點P即為點B，點M為線段A₁B₁的中點。

解：取AB中點O，過O作OP⊥BM，垂足為P，連結CP。

∵AB是平面A₁B與平面ABC的交線，CO⊥AB，且平面A₁B⊥平面ABC

∴CO⊥平面A₁B

，因此

，∠OPC即為

的平面角。

在Rt△COP中，

CO為定長，∠OPC為最小，即OP為最大。

當且僅當P與B重合時，OP最大，此時M點為A₁B₁的中點，BM⊥AB。

小結：本題是一道探索性題，确定動點M使所求二面角最小的位置是關鍵。在求體積的過程中運用了等積變形。

二. 利用均值定理求最值

例2. 在棱長為a的正方體OABC-

中，E、F分别是棱AB、BC上的動點，且AE=BF。

（1）求證：

；

（2）當三棱錐B’-BEF的體積取得最大值時，求二面角

的大小（結果用反三角函數表示）。

（1）證明：連結OF、CE、A”O，如圖所示。

∵AE=BF

∴EB=CF

又OC=CB，∠OCF=∠CBE

因此，

又∵EB⊥平面BC”，C”B⊥B”C

∴C”E⊥B”C

又因為A”O//B”C，所以C”E⊥A”O

而

所以

（2）解：設EB=y，BF=x，邊長為a，則

三棱錐

的體積

當且僅當

時等号成立

因此，三棱錐的體積取得最大值時

過點B作BD⊥EF交EF于D，連結B”D，可得

∴

在Rt△BEF中，直角邊，BD是斜邊上的高，則

，

。

∴二面角的大小為

。

小結：如果函數解析式符合基本不等式條件（或可以轉化為基本不等式形式），可以用基本不等式定理（均值定理）求解（均值定理的條件是“一正，二定，三相等”）。

三. 利用二次函數求最值

例3. 如圖所示，正方形ABCD、ABEF的邊長都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直。點M在AC上移動，點N在BF上移動，若

。

（1）求MN的長；

（2）當a為何值時，MN的長最小？

解：（1）作MP//AB交BC于點P，NQ//AB交BE于點Q

連結PQ，依題意可得MP//NQ

且MP=NQ，即MNQP是平行四邊形

如下圖所示，則MN=PQ。

由題意知，

則

即

（2）由（1）知，

所以，當

時，

即M、N分别為AC、BF的中點時，MN的長最小，最小值為

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