高中數學速解三角形?肖博數學小題專練·(八) 三角恒等變換、解三角形，今天小編就來聊一聊關于高中數學速解三角形?接下來我們就一起去研究一下吧!

高中數學速解三角形

肖博數學小題專練·(八) 三角恒等變換、解三角形

一、選擇題

1.(2017·廣州一模)已知 tanθ=2，且 θ∈











0，

π

2 ，則 cos2θ=( )

A.

4

5

B.

3

5

C.-

3

5

D.-

4

5

答案 C

解析 cos2θ=cos2θ-sin2θ=

cos2θ-sin2θ

cos2θ sin2θ

=

1-tan2θ

1 tan2θ

，将 tanθ=2

代入可得 cos2θ=-

3

5，故選 C。

2.(2017·南甯一模)已知角 θ 的終邊過點











2sin2

π

8-1，a ，若 sinθ

=2 3sin13π

12 cos

π

12，則實數 a 等于( )

A.- 6 B.-

6

2

C.± 6 D.±

6

2

答案 B

解析 因為 2sin2

π

8-1=-cos

π

4=-

2

2 ，所以 sinθ=

a

1

2 a

2

=-

2 3sin π

12cos

π

12=-

3

2 ，且 a<0，解得 a=-

6

2 。故選 B。

3.若 cos









π 

2-α =

2

3 ，則 cos(π-2α)=( )

A.

5

9

B.-

5

9

2

C.

2

9

D.-

2

9

答案 B

解析 由題設可得 sinα=

2

3 ，所以 cos(π-2α)=-cos2α=2sin2α

-1=2×









2

3

2-1=-

5

9，故選 B。

4.(2017·唐山一模)已知 α 為銳角，且 cos











α

π

4 =

3

5，則 cos2α=

( )

A.

24

25 B.

7

25

C.-

24

25 D.±

24

25

答案 A

解析 ∵α 為銳角，∴

π

4

<α

π

4

<

3π

4 。又∵cos











α

π

4 =

3

5，∴sin











α

π

4 =

4

5。∴cos2α=sin











2α

π

2 =2sin











α

π

4

cos











α

π

4 =

24

25，故選 A。

5.(2017·深圳一模)△ABC 的内角 A，B，C 的對邊分别為 a，b，

c，已知 cosC=

1

4，a=1，c=2，則△ABC 的面積為( )

A.

15

4

B.

15

8

C.

1

4

D.

1

8

答案 A

解析 由餘弦定理，知 c

2=a

2 b

2-2abcosC，代入 cosC=

1

4，a

=1，c=2，解得 b=2，又由 cosC=

1

4，解得 sinC=

15

4 ，所以 S△ABC

=

1

2

a·b·sinC=

15

4 ，故選 A。

3

6.(2017·衡陽模拟)在△ABC 中，角 A，B，C 的對邊分别為 a，

b，c，且 b(2sinB sinA) (2a b)sinA=2csinC，則 C=( )

A.

π

6

B.

π

3

C.

2π

3

D.

5π

6

答案 C

解析 ∵b(2sinB sinA) (2a b)sinA=2csinC，∴由正弦定理可

得 b(2b a) (2a b)a=2c

2，整理可得 b

2 a

2-c

2=-ab，∴由餘弦

定理可得 cosC=

a

2 b

2-c

2

2ab =

-ab

2ab =-

1

2。∵C∈(0，π)，∴C=

2π

3 ，故

選 C。

7.(2017·長沙模拟)△ABC 中，C=

2π

3 ，AB=3，則△ABC 的周

長為( )

A.6sin











A

π

3 3

B.6sin











A

π

6 3

C.2 3sin











A

π

3 3

D.2 3sin











A

π

6 3

答案 C

解析 設△ABC 的外接圓半徑為 R，則 2R=

3

sin

2π

3

=2 3，于是

BC=2RsinA=2 3sinA，AC=2RsinB=2 3sin









π 

3-A ，于是△ABC 的

周長為 2 3













sinA sin











π 

3-A 3=2 3sin











A

π

3 3。故選 C。

8.如圖，已知 D 為 Rt△ABC 的斜邊 AC 上一點，DE⊥AB 于點

4

E，若 AE=6，BC=4，則△ABD 的面積為( )

A.6 B.12

C.18 D.24

答案 B

解析 由題意，知在 Rt△ADE 中，AD=

AE

cosA=

6

cosA。在 Rt△ABC

中，AB=

BC

tanA=

4cosA

sinA ，則 S△ABD=

1

2

AD·ABsinA=

1

2

·

6

cosA

·

4cosA

sinA

·sinA=

12，故選 B。

9.在△ABC 中，三個内角 A，B，C 所對的邊分别為 a，b，c，

若 S△ABC=2 3，a b=6，

acosB bcosA

c =2cosC，則 c 等于( )

A.2 7 B.4

C.2 3 D.3 3

答案 C

解析 因為

acosB bcosA

c =2cosC，由正弦定理，得 sinAcosB

cosAsinB=2sinCcosC，所以 sin(A B)=sinC=2sinCcosC，由于

0

1

2，所以 C=

π

3，因為 S△ABC=2 3=

1

2

absinC

=

3

4

ab，所以 ab=8，又 a b=6，所以



a=2，

b=4

或





a=4，

b=2，

c

2=

a

2 b

2-2abcosC=4 16-8=12，所以 c=2 3。故選 C。

5

10.如圖，在△ABC 中，C=

π

3，BC=4，點 D 在邊 AC 上，AD

=DB，DE⊥AB，E 為垂足，若 DE=2 2，則 cosA 等于( )

A.

2 2

3

B.

2

4

C.

6

4

D.

6

3

答案 C

解析 在△ABC 中，因為 DE⊥AB，DE=2 2，所以 AD=

2 2

sinA，

所以 BD=AD=

2 2

sinA，所以 A=∠ABD，所以∠BDC=A ∠ABD=2A，

在△BCD 中，由正弦定理得 BD

sinC=

BC

sin∠BDC

，即

2 2

sinA

3

2

=

4

sin2A，整理得

cosA=

6

4 。故選 C。

11.在△ABC 中，角 A，B，C 的對邊分别為 a，b，c，若 b=1，

a=2c，則 sinC 的最大值為( )

A.

1

5

B.

1

2

C.

1

3

D.

1

4

答案 B

6

解析 由餘弦定理可得 cosC=

a

2 1-c

2

2×1×a

=

3c

2 1

4c

≥

2 3c

4c =

3

2 ，

當且僅當 c=

3

3 時取等号。所以 C 的最大值為π

6，所以 sinC 的最大值

為

1

2。故選 B。

12.(2017·洛陽二模)在△ABC 中，角 A，B，C 的對邊分别為 a，

b，c，且cosB

b =-

3cosC

c ，則角 A 的最大值為( )

A.

π

6

B.

π

4

C.

π

3

D.

π

2

答案 A

解析 由正弦定理得cosB

sinB=-

3cosC

sinC ，所以 tanC=-3tanB。所以

B，C 中有一鈍角，所以角 A 必為銳角。所以 tanA=-tan(B C)=-

tanB tanC

1-tanBtanC

=

2tanB

1 3tan2B

>0。所以 tanB>0，tanA≤

2tanB

2 3tanB

=

3

3 ⇒

0

π

6，即角 A 的最大值為π

6，故選 A。

二、填空題

13.(2017·全國卷Ⅰ)已知 α∈











0，

π

2 ，tanα=2，則 cos











α-

π

4 =

________。

答案 3 10

10

解析 ∵α∈











0，

π

2 ，tanα=2，∴sinα=

2 5

5 ，cosα=

5

5 ，∴cos











α-

π

4

=cosαcos

π

4 sinαsinπ

4=

2

2 ×









2 5 

5

5

5

=

3 10

10 。

7

14.(2017·湖北七市一模)已知△ABC 中，角 A，B，C 對邊分别

為 a，b，c，C=120°，a=2b，則 tanA=________。

答案 3

2

解析 由正弦定理可得 sinA=2sinB，因為 B=180°-A-120°=

60°-A，所以 sinA=2sin(60°-A)，即 sinA= 3cosA-sinA，所以 2sinA

= 3cosA，故 tanA=

3

2 。

15.(2017·梅州一模)在△ABC 中，角 A，B，C 所對的邊分别為

a，b，c，若a

2-b

2= 3bc，且sinC=2 3sinB，則角A的大小為________。

答案 π

6

解析 由正弦定理及 sinC=2 3sinB，得 c=2 3b，又 a

2-b

2= 3

bc，所以 a

2=b

2 6b

2，即 a

2=7b

2，由餘弦定理可得 cosA=

b

2 c

2-a

2

2bc

=

13b

2-7b

2

4 3b

2 =

3

2 ，則 A=

π

6。

16.(2017·安陽二模)在△ABC 中，角 A，B，C 的對邊分别為 a，

b，c，且(2a 2c-b)cosC=(a c)cosB bcosA，若 c=3，則 a b 的

最大值為________。

答案 6

解析 由正弦定理可得 2sinAcosC 2sinCcosC-sinBcosC=

sinAcosB sinCcosB sinBcosA，∴2sinAcosC 2sinCcosC=sin(B C)

sin(A B)，∴2(sinA sinC)cosC=sinA sinC，由此可得 cosC=

1

2，

故由餘弦定理可得 9=a

2 b

2-ab，即(a b)

2=9 3ab，又 ab≤

1

4

(a

b)

2，所以1

4

(a b)

2≤9⇒a b≤6，故 a b 的最大值是 6。

8

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