導讀：這篇文章從醞釀到最後成文前後經曆了兩個月，修改了好多版。很多人都不清楚小學數學應該學什麼，怎麼學？這篇文章将帶你深入剖析這一問題，告訴你孩子在小學階段最應該建立起來的核心數學能力。文章約7000字，若能沉下心閱讀，必有收獲。

之前寫的《作業幫猿輔導清北網校，請停止你們拙劣的表演》成為公衆号xuanbamath目前閱讀量最高的一篇文章。這倒不是因為文中有幹貨，而是我認為這些廣告宣傳基本是強調記憶而忽略原理的速算，完全不值得炫酷，這一點得到了很多家長的高度認同。

那麼小學數學，或者更寬泛一些，中小學數學到底應該學什麼，怎麼學？

請先思考5秒種，再往下讀！

你的腦海裡有沒有浮現出下列場景？

（1）背了好久的九九乘法表；

（2）總有出錯的豎式計算；

（3）經常忘記除以2的三角形和梯形面積公式；

（4）惱人的單位換算；

（5）總也标不對位置的小數點；

（6）經常跳坑的應用題。

如果有，那恭喜你，屬于絕對有必要讀本文的對象，請直接往下讀。如果沒有，請在留言區補充後繼續往下讀。

數學學習的幾點經驗

我小時候學數學，很少有人教套路。不少人問我為什麼高考數學能得滿分，有沒有什麼經驗。我總結了以下幾點。

(1) 重視基本概念

學好數學，搞清楚基本概念非常重要。其實，基本概念的重要性不僅僅是在數學領域，在整個科學領域都一樣重要。

已故的南大計算機系泰鬥級人物徐家福先生就非常強調基本概念。他每次給學生做講座，都要強調“基本概念、基本概念、基本概念！” 沒錯，每次他都會重複三遍。

歐幾裡得的平面幾何奠定了西方公理化方法的基礎。公理化方法是“從某些基本概念和基本命題出發，根據特定的演繹規則，推導一系列的定理，從而構成一個演繹系統”的方法。歐氏幾何的數學大廈就是由基本概念（包括基本概念、基本關系）、公理、演繹規則和定理構成。其中，基本概念居于重要的位置。

很多數學問題，其實最終考察的是對基本概念的理解程度。但有些人卻在基本概念和定義都還沒有搞清楚的情況下，就去追求公式記憶和快速解題，這就有點本末倒置了。

這裡列舉幾個例子。

比如，提到圓，很多人都會立刻想到圓的周長和面積公式，而往往忽略了一個最重要的性質，即圓上的任何一點到圓心的距離都相等。

再如，高中時學的橢圓和雙曲線，很多人都側重于去記住橢圓和雙曲線的代數方程。但是除了方程之外，這些曲線還有它們的幾何意義。許多時候，這些幾何含義往往可以成為解決問題的利器。

（2）重視結論背後的原理

我自己學數學，很少刻意去背公式和記結論。自己不理解的結論，很難記住，即便一時記住，也容易忘記或記錯。

比如小學低年級的植樹問題、乘法分配律，我肯定會通過數形結合的方法去加深理解。

我記得某個培訓機構為了讓孩子記住乘法分配律，用了個警察抓小偷的故事來輔助記憶。但如果用下面數形結合的方式來輔助理解乘法分配律，是不是想忘記都難？

現在很多機構都大力宣傳各種速算技巧，這些其實完全沒有必要刻意去學。每一種速算都有它的适用範圍，一不小心就容易搞混、記錯。數的位值表示、交換律、結合律、分配律、因數分解等，才是各類速算技巧背後的核心原理。

類似于“用1、2、3、4、5這五個數字組成一個三位數和一個兩位數，使得兩個數乘積最大”的問題，我更不會去記給自己的思想戴上枷鎖的所謂“U型圖解法”。

除了上面的簡單例子，包括等差數列求和、等比數列求和、以及大部分三角公式，我也不會刻意去記公式，而是重視這些公式的推導過程。這樣習得的知識，才能記得牢、用的活。

（3）有一股鑽勁

這一點可能是不少孩子在學數學過程中所欠缺的。特别是現在很多培訓講究套路，而不重視探索的過程，最後純粹變成了比誰見過的套路多。孩子一旦碰到沒有見過的問題，就容易産生畏難情緒，容易放棄。

學好數學必須要有一股挑戰難題的韌勁！如果不經常花一兩個小時或更長的時間去“啃”一道難題、消化難題，那數學是很難學好的。即便一段時間考了高分，那也不值得沾沾自喜，因為這種高分往往是昙花一現，難以持久。

《原本》的作者歐幾裡得曾說過“幾何無王者之道”。這一點我非常贊同。包括幾何在内的所有數學學習都沒有捷徑可循。一切宣稱可以快速提分的，往往都是飲鸩止渴。數學問題可以千變萬化，隻有修煉好内功，才能以不變應萬變！

（4）形成了一套自己的解題模式

不少人追求刷題量，最後導緻解數學問題純粹變成了肌肉記憶和條件反射。我曾和一些孩子聊過，他們雖然可以條件反射式地快速給出一些問題的答案，但據我觀察，不少時候他們并沒有理解問題的本質。

我自己不推薦海量刷題，但這并不是說不做題。不解題肯定學不好數學，關鍵是解題的方法。怎麼才能做到解一題當十題的效果？

經過這麼多年的實踐，我形成了一套自己的解題模式，自認為可以最大化解題的效果。具體地，可以将解題的整個過程分為應試和提升兩個階段。

應試階段分為五步：

第一，仔細讀題審題。

這一步很重要，千萬不要圖快，最好題目讀上兩遍，揣摩清楚出題人的意圖。

第二，觀察聯想。

觀察、識别問題的結構和模式，并與自己知識結構中的已知問題進行分析、對比。

第三，探索和求解。

在這個過程中，很多時候都是通過類比、歸納尋找解題的思路。在小學階段，這個過程對于提升孩子的數學能力非常重要，類比和歸納是人類解決未知問題的法寶。當然，探索和求解的方法還有許多，我以後會慢慢寫。

第四，永遠不要忘了問“是否是唯一解？”。

這一步也很重要，非常考察思維的完備性。一道題10分，如果有2個答案，你隻答了1個，那就隻得5分。找出其它所有解，或者證明解就是唯一的，在數學上非常重要。

第五，學會驗算。

驗算并不是簡單地将問題重新做一遍，而是一門學問。關于驗算的内容，完全可以寫上一整篇文章。我這裡隻講幾點：首先，驗算方法千萬條，讀對題目第一條，确保沒有讀錯題和會錯意是最重要的；其次，要即時驗算、步步為營；最後，驗算方法多種多樣，要選擇最适合所給問題的方法，包括代入法、殊途同歸法、特殊值法、實驗驗證法、估算法等。

如果是應試，那麼，到這兒解題就結束了。但作為平時的練習，到這裡還遠遠不夠。後面的思考才是對提升數學解題能力作用最大的。就好比健身，當你開始出汗的時候，後面一段時間的堅持才是鍛煉效果最好的。

那麼還需要做什麼呢？

第六，需要拷問自己：所采用的方法是否可以擴展？

比如當問題規模n=10的時候方法可以用，當問題規模n=1000的時候方法還能不能用？

第七，永遠要問自己，是否有其它解決方法？

努力做到一題多解，并學會分析每種方法的好壞和适用條件。一般而言，效率和普适性往往是一對矛盾體。

第八，變換角色，把自己當成出題人。

想一想如果自己來出題，可以怎麼改變出題條件，真正做到舉一反三。

如果能夠做到這些，那我相信數學解題能力想不提升都難。

學數學可以培養孩子的哪些能力和習慣？

雖說現在很多學科都可以培養孩子的思維能力，但無疑，數學依然是最好的思維體操。

通過數學學習，可以培養孩子的抽象能力、推理能力和解決問題的能力，并鍛煉公理化系統方法。具體地，我覺得可以培養孩子的12大能力和6大優秀的品質（注：這些詞有些是我自己總結和發明的，肯定有不周全的地方）。這些能力和品質，對孩子日後的工作和生活具有非常積極的意義。

基礎教育階段數學能力培養的重點是什麼？

小學階段，類比推理和歸納推理應該是重點培養的數學推理能力。等小學高年級和中學階段，演繹推理将逐漸扮演更重要的角色。

類比推理

類比推理是根據兩個（或兩類）事物的某些屬性相同或相似，推出它們另一屬性也相同或相似的推理方法，是一種從特殊到特殊的推理方法。

聽着很玄乎？其實說白了就是依葫蘆畫瓢。

比如，知道圓的定義是由所有到圓心的距離相等的點構成的集合，那麼三維中球面的定義應該是由到球心的距離相等的點構成的曲面。

又如，我們知道在十進制中，被9整除的數的特征是各位數字之和能被9整除，這一結論可以基于數的位值表示推導得出，例如：

297=2×102 9×10 7

=2×(99 1) 9×(9 1) 7

=2×99 9×9 2 9 7

因此，297能被9整除當且僅當其各位數字之和2 9 7能被9整除。

類似地，我們可以做這樣的類比：7進制中，被6整除的數的特征是各位數字之和能被6整除。其結論也可以類比十進制的推理得出。

435(7)=4×100(7) 3×10(7) 5

=4×(66(7) 1) 3×(6(7) 1) 5

=4×66(7) 3×6(7) 4 3 5

因此，435(7)能被6整除等價于4 3 5能被6整除。

再看一個幾何的例子：

下圖的正方形邊長為1，首先被分成四個相等的正方形，将左上角塗色，然後再将右下角正方形的一分為四，将左上角的塗色。如果我們一直持續這一過程，那麼最後被塗色的部分占整個面積的多少？

這個問題最直接的做法是利用小學生無法理解的無窮級數求和。如果不用無窮級數求和，可以這麼考慮：去掉右下角的1/4塊後，剩下的這部分，塗色部分是剩下部分的1/3（如下圖左）。

在剩下的1/4塊裡，我們再去掉這個1/4塊的右下角，那麼塗色部分依然占整個面積的1/3（如上圖右）。依此類推，每次都摳掉右下角的一小塊，塗色部分的面積在不同的尺度上都是整個面積的1/3，因此整體上塗色部分面積為整個正方形面積的1/3。

基于這個小學生能理解的思路，我們可以類似地解決下面這個問題：

在下面的黃色正三角形ABC中，分别取三邊的中點D, E, F并分别連接，然後分别取DE, EF,DF三邊的中點H, I, G，并将ΔDGH, ΔEHI, ΔGIF塗成藍色。接着，對中間的小三角形GHI重複上述同樣的操作。如果這一操作一直持續下去到永遠，請問，圖中塗成黃色部分的面積占整個正三角形面積的幾分之幾？

但是，由于類比推理的邏輯根據是不充分的，帶有或然性，具有猜測性，不一定可靠，不能作為一種嚴格的數學方法，因此還須經過嚴格的邏輯論證，才能确認猜測結論的正确性。

比如，“這篇小說隻有1000字,文字很流暢，這篇小說得獎了。你寫的這篇小說也是1000字，文字也很流暢，因此也一定能得獎。” 這樣的類比無疑會得出錯誤的結論。

人類一直希望能找到适合生命存在的外星系類地行星，這就是一種類比推理。根據行星的構造、溫度、距離恒星的遠近等方面具有與地球類似的特征，因此推斷其可能也應該有生命存在。這樣的推理結論，并不一定正确。

歸納推理

歸納推理則是由部分到整體，個别到一般的推理過程，是由一定程度的關于個别事物的觀點過渡到範圍較大的觀點，由特殊具體的事例推導出一般原理、原則的方法。

聽着高大上？其實就是找規律！

應該說，歸納推理能力的培養對于解決未知問題具有重要的作用，是小學階段應該花力氣重點培養的主要能力之一。

先看一個簡單的問題：

2，5，8，11，…，這個數列的第100項是多少?

這個問題，顯然需要在特殊的基礎上進行歸納，從第二項起，每一個都是在前一個基礎上加3，那麼第100項應該是在第1項的基礎上加99個3，即為2 99×3。更一般化地，第n項的通項公式應該是2 (n-1)×3。

再如，我們知道三角形、四邊形、五邊形的内角和分别為180°，360°，540°，據此，我們可以歸納出n邊形的内角和應該是(n-2)×180°。

再看下面這個問題：

有100個邊長為1的正三角形如下圖所示排成一行，請問圖形的周長是多少？

我們不妨從1個正三角形開始做初步的探索：

正三角形個數

周長

1 3

2 4

3 5

4 6

據此，我們可以歸納出n個正三角形按上面的方式排列的周長為n 2。

如果我們把正三角形換成正五邊形，100個邊長為1的正五邊形如下圖所示排在一起，周長為多少？

我們同樣也可以從1個正五邊形開始做如下的探索和歸納：

正五邊形個數

周長

1 5

2 8

3 11

4 14

據此，可以歸納出n個正五邊形按上述方式排列，周長為3n 2。

上面的結論，當然可以進行嚴格證明。從圖中可以看到，除了頭尾兩個正五邊形貢獻了4條邊，其餘n-2個正五邊形都貢獻了3條邊，因此周長為4×2 3×(n-2)=3n 2。

最後再來看一個稍微複雜一點的問題：

有1個水龍頭，6個人各拿一隻水桶到水龍頭接水，水龍頭注滿6個人的水桶所需時間分别是5分鐘、4分鐘、3分鐘、10分鐘、7分鐘、6分鐘．怎麼安排這6個人打水，才能使他們等候的總時間（包括自己的打水時間）最短，最短的時間是多少？

這個問題，也可以從歸納開始。

首先，假設隻有2個人，所需注水時間分别為3分鐘和4分鐘，那麼按照注水時間有3、4和4、3兩種排列。顯然，按照前一種排列方式打水，等候的總時間最短，為3 (3 4)=10分鐘。

再假設有3個人，所需注水的時間分别為3分鐘、4分鐘、5分鐘，那麼有：

注水時間的排列順序

等候的總時間

3、4、5 22

3、5、4 23

4、3、5 23

4、5、3 25

5、3、4 25

5、4、3 26

可以看到，按照3分鐘、4分鐘、5分鐘的順序打水，等候的總時間最短。

據此，可以大緻歸納出下面的結論：為了讓所有人等候的總時間最短，應該按照注水時間從小到大的順序排隊打水。

但這個歸納到底對不對，還需要嚴格的證明。

證明方法不止一種，這裡隻介紹一種基于整體思維和遞歸思維的方法。

假設6個人最後打水的先後順序為：a, b, c, d, e,f, 各人需要的注水時間也用a, b, c, d, e, f表示，那麼總的等候時間為：

a (a b) (a b c) (a b c d) (a b c d e) (a b c d e f)

=6a 5b 4c 3d 2e f

=5a 4b 3c 2d e (a b c d e f)

=5a 4b 3c 2d e 35

要使得和最小，最後一個式子中消失的f應該是最大的，即10分鐘，剩下的a, b, c, d, e為5,4,3,7,6的一個排列。

基于遞歸的思維，重複這一分析過程，可以得到e=7，d=6，c=5，b=4，a=3。

事實上，許多物理定律的發現，也都依賴于對大量數據的觀測和歸納，比如開普勒發現的行星運動定律。從這個意義上講，對數據的拟合就是一種歸納。

當然，上面所提到問題的歸納最後是可以進行嚴格證明的。但是，有些通過特殊歸納出的一般結論卻并不一定正确，或者，很難被證明或證僞，從而變成了著名的數學猜想。

例如，大名鼎鼎的哥德巴赫猜想就屬于這樣的歸納結論。

哥德巴赫猜想：任何大于2的偶數都可以表示成兩個質數之和。

比如4=2 2，6=3 3，8=3 5，10=5 5，這個結論對于特殊值都成立。但通過歸納得出的一般性結論，經曆了這麼多年都未能得到證明或證僞。

此外，規律不一定唯一，同樣的觀測值，可以得出不同的可解釋的歸納結論。比如下面這個：

1，2，4，8，_____

按照大部分人的直覺，後面都會填16。

但是，填15也行。為什麼？如果你去研究一下0刀、1刀、2刀、3刀、4刀分别最多能把西瓜切成多少塊，就會發現是1，2，4，8，15這個序列。

填14也行。為什麼？如果你去觀察一下0個圓、1個圓、2個圓、3個圓、4個圓分别最多能把平面分成多少份，就會發現是1，2，4，8，14這個序列。

事實上，隻要是有限個數，空格處填任何數都可以通過合适的多項式進行拟合。

演繹推理

而到了初中以後，演繹推理就顯得更重要。

演繹推理是指從一般性的前提出發，通過推導即“演繹”，得出具體陳述或個别結論的過程。演繹推理是一種确定性推理，是前提與結論之間有必然性聯系的推理。

最著名的演繹推理是下面的三段論：

所有的人都會死。

蘇格拉底是人。

所以，蘇格拉底會死。

在我們的數學課程中，演繹推理在平面幾何中用的最多。這裡舉一個例子。

證明三角形的内角和是180°。

在小學的課本裡，是通過類似于下面的實驗方法，把三角形的三個角剪下來，拼在一起，發現正好是一個平角。

這種方法當然不能算是一種證明。嚴格的證明需要演繹推理。

首先，如下圖所示，延長BC至CD。在ΔABC中，過C點做BA的平行線至CE。

由于BA//CE，

所以有：

∠DCE=∠B（同位角相等）

∠ECA=∠A（内錯角相等）

因此：

∠A ∠B ∠C

=∠ECA ∠DCE ∠ACB

=180°

如果要進一步深究一下，為什麼同位角和内錯角相等？那我們還要搬出歐幾裡得平面幾何五大公設中的第五條，它是這麼說的：

同平面内一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側的兩個内角和小于二直角的和，則這二直線經無限延長後在這一側相交。

這句話的逆否命題是：同平面内一條直線和另外兩條直線相交，如果後面兩條直線無限延長後在某一側不相交，那麼這一側的兩個内角和不小于兩個直角的和（即180°）。

由于兩條直線平行，所以這兩條直線在任何一側都不相交（注：這一結論隻限歐氏幾何範疇）。那麼兩側的兩個内角和都不小于180°。而四個内角加起來是360°，隻能是每一側的兩個内角和均為180°。再根據平角是180°，可以進一步推出同位角和内錯角相等。

隻有掌握了演繹推理，才算是真正步入了數學的大門。

所以，什麼才是我們最應該學的？

不是那些讓人眼花缭亂的各種技巧，而是基本概念、基本關系、基本規則、基本原理和基本推理方法，以及不畏艱難和追求卓越的品質！

（全文完）

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