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作為一名房地産投資人員，就永遠繞不開内部收益率（即IRR）。

問題：現金流采用年度、季度、月度數據求解出來的IRR之間是什麼關系？

由于一般房地産項目的建設周期較短，一個高層項目從拿地到交付的時間周期也就3年左右，所以用年度現金流序列來計算IRR就不太合理，所以房地産項目一般采用季度或者月度現金流序列來計算IRR。

他們之間就猶如名義利率與實際利率的關系。比如你去找銀行貸款年利率是8%，按月付息。

由于是按月付息，因此8%是年名義利率，月利率=8%/12=0.66%，年實際利率=（1 0.66%）^12−1=8.2%。

可見名義利率與實際利率是有差異的，且一般來講實際利率高于名義利率。

同理，我們假設P0為年初現金流初值，當然P0同時亦為該年首季度和首月度初值，P為終值。

IRR年度、IRR季度、IRR月度分别為年度、季度、月度内部收益率。

則有P=P0*（1 IRR年度）

=P0*（1 IRR季度）^4

=P0*（1 IRR月度）^12

RR年度=（1 IRR季度）^4-1=（1 IRR月度）^12-1

可見，IRR年度≠4* IRR季度≠12* IRR月度，這一點很容易出錯，大家一定要注意！

除了提升IRR的問題外，我們在實際測算過程中，還經常遇到這樣一種情況，那就是測算出來IRR為負數，這可如何是好，搞得很多朋友一臉懵逼。

比如，有這樣一筆現金流：

通過EXCEl求解得出IRR=-8%，為一個負數。

此時大家一定非常迫切想搞清楚這幾個問題：

1、IRR為負數是什麼含義？負數是什麼情況産生的？

2、測算表求解出IRR為負數後，我們應該怎麼調整現金流？

為了得出更加一般性的規律，我們首先得回歸到IRR求解的數學模型中，比如拿我們上面列舉的求解公式來看：

我們可以把這個方程抽象為：

數學上我們把這種方程叫做一元n次多項式，它是n次方程。

n次方程應該有n個解（其中包括負數根和重根），很明顯，負根并無經濟意義。隻有正實數根才能是項目的IRR，而方程的正實根可能不止一個。

而n次方程式的正實根的數目可用笛卡爾符号規則進行判斷，即正實根的個數不會超過項目現金流量序列（多項式系數系列）的正負号變化的次數p（如遇有系數為零，可視為無符号）。

是不是越看越懵逼？到底是什麼意思呢？能不能說人話......

直白一點，就是說這個項目的現金流求解出來的IRR的個數取決于這筆現金流的“現金流”（注意，這裡的現金流對應到測算表中應為淨現金流）由正轉負或者由負轉正的次數，假設這個次數為p：

如果P=0（正負号變化0次），則方程無根；

如果P=1（正負号變化1次），則方程有唯一根。

如果P=2（正負号變化2次），則方程的正實根＜2個。

也就是說，若項目的淨現金流（t=0,1,2,,n）的正負号僅變化1次，内部收益率方程肯定有唯一解。

而當淨現金流序列的正負号有多次變化（兩次或兩次以上），内部收益率方程可能有多解。

為了便于大家更好的理解，這裡列舉幾種典型的現金流：

(1)

這筆現金流序列正負号僅變化1次，因此内部收益率方程隻有唯一解。果

不其然，通過excel計算得出IRR=20%，這是一筆比較常規的現金流，與我們前文所列舉的現金流特征一緻。

（2）

這筆現金流序列正負号僅變化1次，因此内部收益率方程隻有唯一解。但這筆現金流計算得出IRR=-8%，為負數。

問題來了，為什麼會出現負數呢？

我們對比一下上面兩筆現金流序列，可以從中找到一個重大區别：那就是“累計淨現金流”的區别，第一筆累計淨現金流=500為正，因此IRR為正；而第二筆累計淨現金流=-1000為負，因此IRR為負。

通過這種觀察得出結論是不是偶然呢？我們進一步驗證。

我們把第2筆現金流中第6期的金額調整為3000，使得累計淨現金流=0，此時我們計算出IRR=0，如圖：

進一步，我把第6期淨現金流金額再增加1000，使得累計淨現金流為正。果不其然，此時計算得出IRR=6%，成為正值了，如圖：

為了得出一個更一般性的結論來指導工作，我們再看幾筆特殊的現金流:

（3）

這筆現金流序列正負号變化0次，因此内部收益率方程應無解，通過excel驗算果然報錯！

（4）

這筆現金流序列正負号變化2次，因此内部收益率方程至多有2個解，即至多存在2個IRR。

（5）

這筆現金流序列正負号變化3次，因此内部收益率方程至多有3個解，即至多存在3個IRR。

看完以上五筆現金流案例，我們大概可以總結出一個更一般性的結論來指導我們測算工作：

1、若方案的第一筆淨現金流＜0（即正常的項目我們第一筆資金基本是支出的，也就是我們投入的一部分），現金流序列僅改變一次正負号，且累計淨現金流＞0，此時項目必有唯一的“正”IRR解。

2、若方案的第一筆淨現金流＜0，現金流序列僅改變一次正負号，且累計淨現金流＜0，此時項目必有唯一的“負”IRR解，鋪排的此現金流方案不可行，需要調整。

3、若方案的現金流序列不改變正負号，則方案的IRR不存在，不能用IRR來評價此方案。

4、若方案的＜0，現金流序列符号變化多次，則方案的IRR個數不超過現金流序列符号變化的次數。在這種情況，也可能會有唯一的IRR解也有可能無解。

顯然我們在測算的時候是不希望IRR出現負值（負值無意義），也不希望IRR出現多解，因為此時IRR無法确定而導緻IRR失效。

查閱了很多文獻，在IRR存在多個解的情況下用excel的IRR函數就非常受局限，因為無論由誰來做，或無論你做多少次，excel均隻給出一個解，這顯然是不合适的。

但盡管在這種情況下，我們很多公司的測算表也是非常暴力地使用excel的IRR函數直接進行求解，我個人認為此時求解出來的結果是有待商榷的。

因此，我們在鋪排現金流的時候，期初為負，後續期為正，累計淨現金流為正，是我們需要關注的三個要點，此時求解出來的IRR是唯一确定的正值。

今天的内容先介紹到這了，更多頭條号幹貨，請關注公号“牧詩地産圈”。

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