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有界函數一定可積嗎

知識 更新时间:2024-10-16 13:04:38

  有界函數不一定可積。設f(x)在區間(a,b)上有界,且隻有有限個間斷點,則f(x)在(a,b)上可積。所以有界不一定可積。例如狄利克雷函數f(x)=1(x是有理數的時候),而f(x)=0(x是無理數的時候),所以f(x)是有界的。但f(x)在任意區間内有無數個間斷點,所以這個函數在任意區間内不可積。

  如果一個函數的積分存在,并且有限,就說這個函數是可積的。一般來說,被積函數不一定隻有一個變量,積分域也可以是不同維度的空間,甚至是沒有直觀幾何意義的抽象空間。對于隻有一個變量x的實值函數f,f在閉區間[a,b]上的積分記作。

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