2022年高考數學全國卷I的壓軸題，實際上是指對同構思想的運用。

已知f(x)=e^x-ax與g(x)=ax-lnx有相同最小值.

(1)求a; (2)證明：存在直線y=b, 其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點，且從左到右的三個交點橫坐标成等差數列.

分析：(1)求a的方法，是分析方程的根的唯一性。

(2)這是同構思想的運用，方法選對了，實在是太簡單了。

(1)解：由f’(x)=e^x-a=0得, x=lna; 由g’(x)=a-1/x=0得, x=1/a.

當a-alna=1 lna時，a-1=(a 1)lna, lna=(a-1)/(a 1)=1-2/(a 1),

記h(a)=1-2/(a 1)-lna，則h'(a)=2/(a 1)^2-1/a=-(a^2 1)/(a(a 1)^2)，

當a>0時，h'<0，當a<0時，h'>0，

又a>0，所以h(a)有唯一的零點，即a-alna=1 lna有唯一的解a=1.

(2)證明：依題意, 有x=x0, x=x1, x=x2, 使得：

e^x1-x1=e^x0-x0=x0-lnx0=x2-lnx2=b (x1<0<x0<1<x2)，【借助函數的圖像可以看到，x1是y=b與f(x)的左交點，在第一象限，所以x1<0；x0是f(x)和g(x)的交點，也是y=b與兩條曲線的公共點，它在第一象限，g(x)的最小值點的左側，而g(x)的最小值點是x=1，所以0<x0<1，x2是g(x)與y=b的右交點，在x=1的右側，所以x2>1】

從而有2x0=e^x0 lnx0，【由e^x0-x0=x0-lnx0推導出來的】（1）

由e^x1-x1=x0-lnx0=e^(lnx0)-lnx0=b，可知，x1=lnx0≠x0, 【因為(x1,e^x1-x1)和(lnx0,e^(lnx0)-lnx0)結構相同，都是f(x)=e^x-x上的點，且函數值都等于b，所以lnx0=x1或lnx0=x0，檢驗的結果發現，lnx0<0，而x0>0，所以lnx0隻能等于x1】（2）

由x2-lnx2=e^x0-x0=e^x0-ln(e^x0)=b，可知，x2=e^x0≠x0,【因為(x2,x2-lnx2)和(e^x0,e^x0-ln(e^x0))結構相同，都是g(x)=x-lnx上的點，且函數值都等于b，所以e^x0=x2或e^x0=x0，檢驗的結果發現，e^x0>1，而x0<1，所以e^x0隻能等于x2】（3）

∴x1 x2=2x0, 即x1, x0, x2成等差數列.【聯立(1)(2)(3)式的結果】

現在您看明白了嗎？注意，真正的解題過程，其實是很簡潔的，隻是老黃添加了很多注釋！

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