微積分是現代科學的基礎，學習微積分是一個現代人的必修課。

數學在于給出有效的計算方法，并且要解釋它為什麼有效。比如已知一個直角三角形的兩個直角邊的長度，我們可以依據勾股定理（勾股定理的發現是長期經驗積累的一次創新），計算出斜邊的長度，同時，還需要以可理解的方式證明勾股定理，給出其适用的條件。這樣，我們的認知才是圓滿的，我們看到的世界才不是現象或概念的混合，而是有層次有秩序的運行着的。

圖1 勾股定理的證明

微積分的發明也是這樣，對于求運動速度，求曲線切線，求曲線長度、所圍面積、立體體積，求極大值和極小值等問題，我們可以依據求微分，求導數，求積分的原則進行計算。但要論證它為什麼是正确的，就不如勾股定理那樣的容易了。

我們以求運動速度為例1，求曲線所圍面積為例2來簡要介紹微積分的方法。

這便是微分（導數即微分之比）的方法，它有近似和說不清楚的地方，但這種方法是非常有效的：我們可以用這種方法計算曲線的切線斜率（這時隻需要把例1中的函數s=s(t)看作一條普通的曲線，計算出來的v(t)即為切線斜率）；我們令v(t)=0，還可以找到曲線上的切線正好水平的位置，它們很可能是極值點；我們令v(t)等于一個特定的數值k，便可以找到斜率為的直線與曲線相切的位置，等等。總之，這種方法在計算上是非常行之有效的，解決了大量的科學問題和工程問題。

這便是積分的方法，它有近似和說不清楚的地方，但這種方法是非常有效的：我們可以用這種方法計算任意圖形面積（如例2），計算任意立體體積（隻需把例2中的函數v=v(t)看作薄片的面積，每一個薄片體積為v(t)dt，物體體積等于所有薄片體積的積分），計算行星運動曲線的長度（隻需把例2 中的v(t)dt看作曲線上一小段弧的長度，把積分區間變為曲線的起點和終點），等等。總之，這種方法在計算上是非常行之有效的，解決了大量的科學問題和工程問題。

圖4 牛頓

微分和積分正好是一個相反的運算，這一點通過例1和例2的計算過程可以清楚地看到。同時，在積分計算中，o 的尋找是一個難點，它也不再是無關緊要的，而正好是連接微分和積分的橋梁。o是在微分運算的過程中産生的，這是它的來源，積分之所以比較困難，正在于我們為了簡便，在微分和導數運算中忽略了o，當然，它本身就是“小到忽略不計”的量。

圖5 萊布尼茨

也正是這“小到忽略不計”的量，引發了曆史上的第二次數學危機。面對如此高明的微積分方法，人們卻沒有辦法給予解釋，人們不知道微分和是什麼，它們究竟是不是0。倘若不是0，則o便無法忽略，不管多麼的小，它始終是一個甩不掉的尾巴，計算結果總是近似的相等的，然而應用微積分方法計算的結果卻是精确的；倘若是0，則微分之比變成了0除以0，這與代數學中的0不能做分母産生矛盾，同時還會推導出無數荒謬的結論。這個問題一直困擾着人們。

第二次數學危機的根本問題可以概括為，微分是什麼？

(未完待續)

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