僅開個頭，不做深層次的分析，因為暫時沒時間，誰讓官方催更呢？當然仔細思考，也定會有所收獲的。秩在線代裡面起到“定”什麼的作用，與各章均有緊密的練習，你知道相應的關系嗎，會寫出對應的秩語言嗎？

在此給出秩的一些問題，請自行查閱資料或者直接檢測作答，并梳理其内在邏輯，自學複習文檔。

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問題1.請複述：秩的2種定義分别是什麼？提示：矩陣行列式，向量

{ ①如何理解其中“最高為r階”非零子式中的最高為r的含義

→提示：一個說大，一個說小，大小夾。

②區分理解：“有一個”和“每一個”}

以上圖片分别為說大和說小

問題2.判斷下面三個命題是否正确？（3個重要的命題）

請牢記清楚

問題3.填空題

（1） 矩陣的性質，常見的等式與不等式

填空題1

填空題2

填空題3

填空題4

（2）線性方程組中與秩相關的命題填空

1.Am*n階，AX=0通解中：基礎解析所含線性無關的解向量個數為：[ ]

2.解的判定

秩與方程組

（3）.如何利用秩，判斷向量組相關無關，

核心定理：→關鍵看：向量組的秩與向量組個數的關系，相等無關，不等相關

-矩陣的秩=它行向量組的秩=它列向量組的秩，故判别 ：矩陣的秩 與 所對應的向量組個數的關系

分析：Am*n 本來判别A列向量組的向量是否相關無關，是去看A的列向量組的秩，與A列向量所含向量個數n之間的關系，但是由于“3秩相等”A列向量組的秩=矩陣的秩R(A)相等，故隻需要看矩陣A的秩R(A)和列向量組所含向量個數n的關系即可，相等則列向量組線性無關，不等則相關。

秩與相關無關

(4).若A~B 等價，相似，合同，則R(A)=R(B);要會區分：相似，合同，等價的概念

重要命題：

若A可相似對角化，則R(A)=非零特征值的個數，重根按重數算 （請判别正确與否）

判别A可相似對角化的秩語言又是什麼？

K重根（設重根為Ω）有K個線性無關的特征向量，秩語言即:n-r（ΩE-A）=K（重數）

→實對稱矩陣的秩=非零特征值的個數

進而:R（A）=二次型标準型平方項非零0系數的個數→再進一步思考與規範型關系

→慣性定理:R（A）=p q正負慣性指數之和

（5）.若An*n可逆，則R(A)= [ ],若A不可逆，則R(A)={ }

4.矩陣的秩與各章的關系 （請思考具體的關系）

摘自李林老師的書

5.矩陣的秩的求法結構體系（線代題最愛做的就是分類：具體 ，抽象）

采用分類來思考：具體和抽象，具體是指A的元素給出，抽象是指僅給A符号，不給A的元素

數字型矩陣的秩如何求？有哪些方法？

（1）定義法；（2）初等變換 （用的多）；（3）行列式 ；（4）特征值（特殊結構）

（可相似對角化的特殊結構，例如：主對角元素相同為b，其他元素亦相同為a,可分解為秩為1的特殊結構）

數字型矩陣的求法

• 抽象型矩陣A的秩如何求?

1.經典的構思：一大一小一夾

要證明R(A)=n,可采用：一個說大R(A)≥n,一個說小R(A)≤n,一大一小一夾R(A)=n

{關鍵如何說大？如何說小？利用好上述：行列式，方程組，相關無關的信息解讀以及常見不等式}

你會：從矩陣A的行列式中子式讀出秩的信息嗎？

存在二階子式不為0

你會：從相關，無關中讀出秩的信息嗎？

若α1=α2-α3，則R(α1,α2,α3)≤2，你能讀出來嗎？理由是？

你會：會從AX=b,A為4階，有3個線性無關的解，讀出秩的信息嗎？

摘自李永樂老師的公衆号

• 擴展兩類題的構思：（考的很少，了解，理解即可）

一個說大一個說小，大小夾

2.利用秩的定義，性質，結論，以及它與其他章節的關系知識來反求秩，理論見上文填空題部分

補充矩陣分解的思想

1.當B的每一列都可以由A的列向量表示的時候，想到 B=AC ，表示系數矩陣C

典型條件設置→什麼時候想到用矩陣分解

1. 設a1 a2 a3線性無關，讨論a1-a2 a1 2a2-a3 a1-a3

2.[Aa1 Aa2 Aa3]=A[a1 a2 a3] 從而可用乘法公式 C=AB 而可以利用R(AB)越乘越小的結論：推出秩的不等式，

3.[A AB]=[AE AB]=A[E B] 如上

4.A-AB=A(E-B)

5.已知P=[ 抽象的 ]，且可逆或者列線性無關。告之你一個有關A的等式，讓你求P-AP=B的B，要點：①先求AP→觀察法，利用矩陣分解的思路→把AP的結果矩陣分解寫為：P*,→因為P可逆，進而*=B所求的。2020考題 2001年數一考題等

2.A=BC分解的構思，先看B,C中是否有可逆矩陣或者線性無關的，從而可以得到R(A)與R(B)或R（C）的确切關系；若沒有，則利用R(BC) “越乘越小”R(BC)≤min{R(B) R(C )}

分析

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