這個方法主要是由康托給出的。回想判斷數列是否收斂的柯西準則，稱一個滿足柯西準則的數列為基本序列。從實數的有限或者無限小數的定義，不難驗證：一個有理數可以用一個收斂的由有理數組成的數列的極限表示，比如這個數列的所有項都是這個有理數；一個無理數也可以用一個收斂的由有理數組成的數列的極限表示，比如對于a=√2，那麼收斂到a的數列{an}的各項可以是
a1=1.4
a2=1.41
a3=1.414
......
因此，一個實數可以對應于一個基本序列。于是定義基本數列的極限點為實數。如果有兩個基本序列，比如{an}和{bn}，收斂于同一個極限點，那麼，必有：當n→∞時an-bn→0，康托稱其為等價類。這樣，一個實數與一個有基本序列組成的等價類就一一對應了，定義是合理的。
下面我們證明√a•√b=√a•b，其中a和b為正實數。令{an}和{bn}分别為收斂到√a和√b的基本序列，容易驗證{a2n}和{b2n}均為有理數列并且分别收斂到a和b，因為n→∞時a2n•b2n→a•b，因此{a2n•b2n}={(an•bn)2}是确定實數(a•b)的基本序列，即{(a•b)}是确定實數√a•b的基本序列，這就證明了命題。
通過上面的論述，我們還可以得到這樣一個基本事實：實數集合R不僅對于四則運算是封閉的，而且對于極限運算也是封閉的。
用基本序列的方法對于論證問題是有利的，但是就計算法則而言是沒有新意的，特别是基本序列的等級類是令人費解的，因為我們無法知道這個類裡的元素是什麼，也無法知道這個類裡的元素有多少，更不知道是否所有的等價類中的元素都是一樣多。為了把一件事情解釋清楚，往往會帶來更多的疑惑。
為了實數理論的完備，還有一個問題是需要解決的，就是實數與數軸上的點是否是一一對應的。隻有解決了這個問題，我們才能安下心來研究基于實數的所有數學理論。在用小數來定義實數的時候我們已經知道，實數與數軸上的點是對應的，但要實現“一一對應”還需要證明實數的連續性，因為從直觀上看，數軸是連續不斷的，現在我們需要驗證實數是否也是連續不斷的。關于這個命題，用基本序列的方法來證明是困難的，因為基本序列在本質上仍然刻畫的是獨立的點。
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