數學公理化到底是怎麼回事呢？從第一次數學危機數學家們讨論√2。第二次數學危機，讨論無窮小是什麼？數學家覺得數需要基礎，必須清楚的知道數到底是什麼?就像歐幾裡得在《幾何原本》中，從五條公設推出其它所有結論一樣，數到底什麼呢？直到19世紀末開展數學公理化運動，在戴德金、康托和維爾斯特拉斯建立了無理數的嚴格理論後，才解決了這個問題。
戴德金分割
戴德金是德國的一位數學家，他是高斯的學生。他提出了構造實數的方法。他的文章“連續性與無理數”和“數是什麼，數應當是什麼？”對數學基礎研究産生了深刻的影響。
我們知道數軸上有無窮多個有理點，戴德金說把有理數分成兩段，可以理解為在數軸上切一刀分成兩段，一個集合為A，一個集合為B。使集合A、B滿足：B集合中的每一個元素b大于A集合中的每一個元素a，任何一個這種分段方式稱為有理數集的一個分割。即
（1）分割成A與B，A∩B=∅，A∪B=Q。
（2）若a∈A，b∈B，則a<b。
分割的結果
對一個分割有三種可能的情況，
（1）A中有最大，B中無最小。
例如：A={x∈Q|x≤2}，
B={x∈Q|x＞2}。
從圖上，A的右端取實心點，B的左端空心點。
（2）A中無最大，B中有最小。
例如：A={x∈Q|x<2}，
B={x∈Q|x≥2}。
（3）A中沒有最大且B中沒有最小。
例如：A={x∈Q|x<0或x²＜2}，
B={x∈Q|x＞0且x²＞2}。
這種情況其實就是以√2做了一個分割。
（4）A中有最大，B中有最小，不可能出現。
設A中最大的元素為a, B中最小的元素為b。
∵A∩B=∅，∴a≠b。
∵a、b都是有理數，
∴(a b)/2也是有理數。
∴與A∪B=Q矛盾。
所以這種情況是不可能出現的。
（1）、（2）情況端點會出現有理數。（3）情況端點沒有有理數，這一刀正好從兩個有理數中間的空隙鑽過去了。這說明有理數中間是有空隙的，誰去填補這個空隙呢？戴德金說我們可以定義一種數叫無理數。無理數就填補在有理數的空隙中。或者簡單的說分割就是一種無理數。
那通過這種分割的方法就可以定義實數了，也就是有理數的全體分割構成了實數。
如果我們對實數進行分割呢？會有什麼樣的結果？結論是隻有（1）、（2）兩種情況出現。因此實數的完備的（也可以說是連續的）。這個過程就叫做實數的公理化。除了戴德金分割，還有其它方式定義無理數，但可以證明這些方法之間都是等價的。
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