燒水問題
有這樣一個問題：“假如你面前有煤氣竈、水龍頭、水壺和火柴，你想燒些水應當怎樣去做？”
被提問者答道：“在壺中放上水，點燃煤氣，再把水壺放到煤氣竈上。”
提問者肯定了這一回答，接着追問：“如其他條件不變，隻是水壺中已有了足夠的水，那你又應當怎樣去做？ ”
這時被提問者很有信心地答道：“點燃煤氣，再把水壺放到煤氣竈上。”
但是提問者說：“物理學家通常都這麼做，而數學家則會倒去壺中的水，并聲稱已把後一問題轉化成先前的問題。”
【感悟】 數學家“倒去壺中的水”似乎是多此一舉，故事的真正意義不是要我們“倒去壺中的水”，而是引導我們感悟數學家獨特的思維方式——轉化。
學習數學不是問題解決方案的累積記憶，而是要學會把未知的問題轉化成已知的問題，把複雜的問題轉化成簡單的問題，把抽象的問題轉化成具體的問題。數學的轉化思想簡化了我們的思維狀态，提升了我們的思維品質。轉化不是就事論事、一事一策，而是發掘出問題中最本質的内核和原型，再把新問題轉化成與已經能夠解決的問題。
兩隻羊的描述
草地上有兩隻羊，在藝術家、生物學家、物理學家、數學家看來卻有不同的感受與理解，下面是他們的的描述。
藝術家：“藍天、碧水、綠草、白羊，美哉自然。”
生物學家：“雄雌一對，生生不息。”
物理學家：“大羊靜卧，小羊漫步。”
數學家：“1 1=2。”
【感悟】 從故事中不同職業的人對兩隻羊的描述，我們感受到藝術家對自然美的關注，生物學家對生命的關注，物理學家對運動與靜止的關注，而數學家從色彩、性别、狀态中抽象出數量關系：1 1=2，這是數學高度抽象性的體現。
蘇格蘭的羊
三位科學家從倫敦去蘇格蘭參加會議，越過邊境不久，發現了一隻黑羊。
“啊，” 天文學家說，“原來蘇格蘭的羊是黑色的。”
“得了吧，僅憑一次觀察你可不能這麼說。” 物理學家道，“你隻能說那隻黑色的羊是在蘇格蘭邊境發現的。”
“也不對，”數學家道，“由這次觀察你隻能說：在這一時刻，這隻羊，從我們觀察的角度看過去，有一側表面上是黑色的。”
【感悟】 著名的思想家培根說過：“數學使人精确。”故事中的數學家對蘇格蘭羊的描述充分體現出數學的嚴密性。數學是思維的體操，語言是思維的外殼，數學的理性思維是建立在數學概念、數學定理等數學語言的嚴密界定之上的。
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