數學分析(或微積分)應該說是進入大學之後最重要的數學基礎課，以後所學的很多課程都和它相關，它的概念、思想和方法已經滲透到了許多地方，所以把它學好是至關重要的。本文将對将對數學分析（微積分）做基本介紹，全文分為三部分，分别為“數學分析的内容”、“相關書籍”和“學結”。限于篇幅，隻能提及一些最關鍵的東西。

微積分自牛頓和萊布尼茨創立之後，再經柯西、魏爾斯特拉斯等人嚴格化之後，已經成為完整而成熟的學科，是研究函數理論最基本的學科，盡管或多或少這套理論有它的不足，但這也不妨礙它成為現代科學的數學基礎。

準确而言，實數範圍内的“數學分析”是數學專業的叫法，而“分析”是對微積分相關學科的泛稱。在我國，理工科所學微積分課程一般稱為“高等數學”，其間還會涉及一些空間解析幾何和一點常微分方程，但其微積分内容還是包含在“數學分析”課程之内，而且要求要低一些。本文還是以數學作業的“數學分析”課程内容為準。

數學分析的課程内容可大緻分為三部分:單元微積分、多元微積分和級數。

單元微積分要處理的就是單元函數的“極限”、“微分”和“積分”的問題。極限是貫穿整個微積分理論的概念，對它的理解和處理是至關重要的。一般都是先從離散的數列開始，再到一般的連續函數，這裡會有一系列關于極限和收斂性的結論。但重中之重是要掌握極限的定義和相關的“δ-ε”語言，脫離基本定義的學習都是空中樓閣。需要注意的是，實數理論作為極限理論的基礎，非數學系一般沒有太多要求，但數學系的學生是必須要掌握的。

微分和導數這一塊能夠更加詳細分析函數的性質。首先要注意的仍是概念，特别是“微分”，學過微積分的人裡有一大半無法準确說出“微分”到底是個什麼概念或者和導數有什麼關系。這一部分最重要的内容是中值定理(費馬中值定理、羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理)和泰勒展開式，還需要掌握的就是求各種函數極限，洛必達法則作為中值定理的産物，在求極限中起着重要作用。

積分論首先的内容是求不定積分，也就是求導的逆運算，這裡需要各種方法，如換元法和分部積分等。一般的定積分理論是黎曼奠定的基礎，其間還有達布等人的貢獻。關于定積分的定義也是很重要的，而關于可積性，和實數理論一樣，數學系會着重要求。牛頓-萊布尼茨公式溝通了微分和積分的關系，是這一理論的靈魂所在。會求各種定積分也是這門課的内在要求。定積分也有很多重要的性質，特别的有兩個重要的積分中值定理。但并不是所有函數都可以求積分，所以還需要判定反常積分是否收斂，這又是一大難點，需要掌握幾個重要的判斷準則。

多元微積分理論是單元微積分理論的自然延伸，但它又有着獨特的地方。首先多元函數的極限和連續性變得複雜，能否交換求極限次序成為關鍵。可微與可導的關系也不再像單元函數那樣直接，需要仔細處理。多元複合函數的求導法則也變得複雜起來，掌握鍊式法則是關鍵。同樣，多元函數也有相應的中值定理和泰勒展開。之後對隐函數的處理也是一大難點。偏導數的應用，特别是對空間解析幾何，充分顯示了它的優越性。而多元函數微分學的一大重要内容就是求極值，這在之前是很難實現的。而求極值分為無條件極值和條件極值，無論是哪一種，判斷法則要熟知。

而多元函數的積分理論相較單元函數而言就十分豐富了。首先是一般的多重積分，這裡變量替換和積分區域的判斷是關鍵。同樣的，多重積分也有反常積分。接下來就是曲線積分和曲面積分，分别有兩類，有比較固定積分方法。之後就導出了一般的格林公式和高斯公式，還有更具一般意義的斯托克公式，這部分内容和物理中的場論息息相關。再接下來就是含參積分，顧名思義，就是含有參數的積分，需要研究它的連續性、可微性和可積性，而它的一緻收斂性尤其重要。這一部分也會涉及一些特殊函數，如Gamma函數和Beta函數。

級數理論是數學中比較有特色的内容，同時級數也是研究函數性質強有力的工具。級數部分大緻分為數項級數、函數項級數和傅裡葉級數。對于數項級數而言，判斷收斂性是首要的内容，判斷法則有柯西判别法、達朗貝爾判别法、拉貝判别法和積分判别法等。而對于任意項級數，還有阿貝爾判别法和狄利克雷判别法等。對于函數項級數而言，一緻收斂性是最重要的内容，有一系列的判别法。一緻收斂的重要性在于它可以判斷函數項級數是否可以逐項求導或積分，這對于函數項級數的求和而言是至關重要的。而幂級數作為特殊的函數項級數，有許多良好的性質。

而傅裡葉級數本來是傅裡葉分析的一部分，一般的數學分析教材也會有所涉及。函數的傅裡葉級數展開是容易的，但一個傅裡葉級數收斂性的判斷是不容易的。傅裡葉級數的良好性質使得它不僅在數學上很有用，在物理等學科上也有重要作用。

無論你是哪所大學，用的什麼教材，我想輔助的書籍都是必不可少的。好的書籍可你幫助學習，不好的書籍真的可以毀了你的學習。

首先菲赫金哥爾茨的三卷本巨著《微積分學教程》是非常值得推薦的，畢竟是大家之作，所以非常具有參考的價值。《微積分學教程》兼顧了理論和應用，内容十分豐富，稱得上是博大精深。但缺點也是不可避免的，首先是篇幅過大，其次由于成書已久，觀點可能有些老，所以同學們應根據自己需要去讀。陳天權的《數學分析講義》就是傳說中的地獄級難度了，如果沒有秒殺一般教材的能力，不建議輕易嘗試此書，特别是初學者。不過課後習題還是非常不錯的，認真做一做對提高水平很有好處，作者也在前言寫了很多關于數學學習的想法，很有借鑒意義。另外諸如卓裡奇的《數學分析》、張築生的《數學分析新講》、Rudin的《數學分析原理》都還不錯，可以借鑒。教材沒有最好的，隻有适合自己的，應該根據自己的需求來選擇，所以不建議一開始就看難的，這是不利于打好基礎的。數學分析不乏其他好教材，但難以一一介紹了。

學數學分析我個人覺得很不錯的習題書是裴禮文的《數學分析中的典型問題和方法》，這是一本大塊頭的綜合習題書，很難全部讀完。書中習題非常豐富，像一本百科全書一般，正文的題有詳細解答，課後習題隻有提示，而且基本上都不怎麼簡單。能認真做下來的話我相信數學分析水平應該算是很不錯了。不過不能理解的是，書中竟然沒有不定積分的題。如果有大神覺得還不夠過瘾，可以試試周民強的《數學分析習題演練》，難度如同陳天權的教材一樣變态，解答都是長篇大論式的，适合研究性學習。不過缺點非常明顯，書中印刷錯誤真的很多，有些論證也有些問題，希望以後能修正。吉米多維奇名聲特别大，不過個人不建議去刷，很多題都過于複雜，有些鑽牛角尖的嫌疑了。另外諸如謝惠民的《數學分析習題課講義》也很不錯，有很多啟發性的題型，可惜課後題沒答案，需要花功夫去做，其實這也并不是什麼壞事。

對這一部分的學習，一般理工科是兩學期，數學系更是達到了三學期，可見其重要性。

首先要重視基礎，這裡的基礎就是概念定義等。前面也提到過，很多人學完過後，對什麼是“無窮小”，什麼是“微分”這些概念性問題都搞不清。更多的人是學到了它的方法，卻忽視了它的思想，而真正重要的卻是思想。所以認真看書是很有必要的，書上的概念定義等必須要清楚。很多老師對書上的内容喜歡走馬觀花，然後就讓大家做題學技巧，其實這是很不負責的教學方式。另外也很重要的就是書中定理的證明，這些證明包含了一些典型方法和思想，掌握它們是很重要的，就算很長很難，也應該堅持啃下來。

再說說做題，學數學就避免不了做題。蘇步青老前輩說他在學微積分時做過一萬道題，雖然我們不可能實現這一宏偉目标，但适當地做題也是很有必要的。我們的數學教育體制是模仿前蘇聯而來的，直到現在都還有很深的痕迹。俄羅斯的數學教育非常重視訓練，所以今天我們可以看到有一大堆來自俄羅斯的數學習題集，很多俄羅斯教材甚至會專門編寫習題書。習題的本意是為了輔助學習，但到了我國就成喧賓奪主了。适當做題就是要根據自己的需求來取舍，更不能讓做題成了學習數學的主題，花很多時間做題不如拿出一些來看更多的書，長更多見識。

最後想強調的是對内容的整體把握。整個課程的内容是相互聯系的，并不是互相割裂的。很多學生學的時候就是喜歡學一部分，丢一部分，要考試的時候又匆匆複習，這是非常不利于在頭腦中形成知識框架的。而缺乏整體把握的直接後果就是學完過後将知識很快遺忘，馬上頭腦中就空空如也了，這對之後的數學學習也是很大的損傷。所以學完之後，可以問問自己，這門課到底講了些什麼，各部分之間又有什麼聯系。

當然，學習數學分析(或微積分)還有許多需要注意的東西和方法。學習本來就應該是八仙過海，各顯神通，不應該故步自封，不能囿于固定的套路或簡單模仿别人。還是那句話，适合自己的才是最好的。

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