因式分解的12種方法的詳細解析? 對于多項式的因式分解，提取公因式法是基本方法之一，此外又一種基本方法是運用公式法．，我來為大家科普一下關于因式分解的12種方法的詳細解析?下面希望有你要的答案，我們一起來看看吧!

因式分解的12種方法的詳細解析

對于多項式的因式分解，提取公因式法是基本方法之一，此外又一種基本方法是運用公式法．

這裡所說 公式是指乘法公式中的平方差公式(a b)(a-b) =a^²-b^²和完全平方公式(a±b)^²= a^²±2ab b^²．運用這兩個乘法公式為什麼可以進行因式分解呢？因為把這兩個公式反過來就是下面兩個公式：

a^²-b^²=(a b)(a-b)……（1）

a^²±2ab b^²=(a±b)^²……（2）

公式(1)仍然叫做平方差公式，公式(2)還是叫做完全平方公式，但它們的作用已經徹底變了，原來是用于進行多項式乘法運算，現在是用來進行因式分解．

根據公式(1)、(2)，隻要多項式符合公式(1)或(2)左邊的條件，我們就可以把它分解為右邊的因式相乘．運用公式(1)或(2)進行因式分解的方法就叫做運用公式法．

從公式來看，能運用平方差公式(1)分解的多項式首先必須是兩項式，其次是這兩項都必須是某個式子的平方，最後還必須是差的形式，即前者平方減去後者平方．這三個條件可以簡單記作“兩項皆平方，符号恰相反．”

例如，x^² y^²中，兩項雖然都是平方，但它們的符号卻都是帶正号“ ”，不滿足“符号恰相反”的條件，所以不能運用平方差公式分解的．同樣地，-x^²-y^²也是不滿足平方差公式條件的．

又如，x^²-y中，兩項符号雖然相反，但前者平方，後者不是平方，不滿足“兩項皆平方”條件，所以不能運用平方差公式分解．

當兩項式滿足平方差條件時，根據公式(1)就可以把它分解為兩個因式相乘，這兩個因式分别是這兩個平方底數的和與差．

例如，x^²-y^²是平方差，平方底數分别是x、y，分解的結果是x、y的和乘以x、y的差，即(x y)(x-y)．

在平方差公式(1)中的a、b，它們所代表不僅僅是單獨的字母，也可以是具體的數字，還可以是單項式、多項式等．

在運用平方差公式因式分解時常常需要先對a、b進行簡單的變形，化為地地道道的平方差後再分解，同時注意幾點幾點：

（1）當a或b中有一個是數字時，這個數題目一般不寫成平方的形式，此時我們要根據該數的大小把它寫成平方的形式，然後再分解．

例如，a^²-4，把4寫成4的平方2^²，則

原式=a^²-2^²

=(a 2)(a-2)．

（2）當a、b為單項式時，有時需要先對單項式進行整理為(…)^²這樣的平方後再分解．

例如，9x^²-y^²，先把9x^²寫成(3x)^²，則

原式=(3x)^²-y^²

=(3x y)(3x-y)．

又如，a^²b^²-1，先把a^²b^²寫成(ab)^²，同時把1寫成1^²，則

原式= (ab)^²-1^²

=(ab 1)(ab-1)．

（3）當a、b指數為大于2的偶數時，先把它們寫成幂的平方差後再分解．

例如，x^⁴-y^²，把x^⁴寫成(x^²)^²，則

原式=(x^²)^²-y^²

=(x^² y)(x^²-y)．

（4）當a、b是多項式時，先留括号再整理．

例如，(2x y)^²-(x-2y)^²，分解為兩數和乘以兩數差時，先把(2x y)與(x-2y)的括号留下，再去括号整理．即

原式=[(2x y) (x-2y)][ (2x y)-(x-2y)]

=(3x-y)(x-3y)．

（5）當“差”的負号“-”在第一項前面時，先把前後兩項的位置交換一下．

例如，-m^² n^²，先把前後項（包括符号）的位置交換，化為n^²-m^²，再分解．即

原式= n^²-m^²

=(n m)(n-m)．

在運用提取公因式法進行因式分解時，我們遇到過公因式提取後，新因式經過整理又出現了新的公因式，此時需要再次提取才算分解完成．在運用平方差公式分解時也會遇到過這種情況，此時我們必須再次運用平方差公式繼續分解，直到每個因式都不能再分解為止．

例如，a^⁴-1，第一次運用平方差公式分解為(a^² 1)(a^²-1)後，第一個因式(a^² 1)是不能再分解的，但第二個因式(a^²-1)顯然又可以再用平方差公式分解為(a 1)(a-1)．分解過程如下：

原式=(a^² 1)(a^²-1)

=(a^² 1)(a 1)(a-1)．

運用公式法因式分解是在多項式用提取公因式不能時才考慮的方法，因此，當多項式有公因式時一定要先提取公因式，然後再考慮能否用公式繼續分解？

例如，分解因式：4a^³-9a．

多項式雖然是兩項差的形式，卻不是平方差，怎麼分解呢?先觀察一下這兩項有公因式嗎？有！公因式是a，因此，先提取公因式a，化為a(4a^²-9)，再考慮新因式(4a^²-9)能否繼續分解？

解：原式=a(4a^²-9)

=a[(2a)^²-3^²]

= a(2a 3)(2a-3)．

再如，因式分解：(a-b)a^² (b-a)b^².

注意a-b與b-a是互為相反數，它們可以相互轉化成公因式，先提取後再看看能否繼續分解？

解：原式=(a-b)a^²-(a-b)b^²

=(a-b)(a^²-b^²)

=(a-b)(a b)(a-b)

=(a-b)^²(a b)．

運用平方差公式分解後，有時還會出現有公因式，此時仍然需要把公因式提取出來．

例如，分解因式：(a-3b)^²-(3a b)^².

解：原式=[(a-3b) (3a b)][(a-3b)-(3a b)]

=(4a-2b)(-2a-4b)

=2(2a-b)·(-2)(a 2b)

=-4(2a-b)(a 2b)．

有些多項式我們所看到的的既沒有公因式，也不能運用公式法，怎麼分解呢？

例如，分解因式：(a b)(a-2b) b(a-7b).

顯然，該多項式沒有公因式可提取，也不能運用平方差公式，我們唯一能做的是進行計算、化簡，因此，就先把它化簡後再确定然後分解．

解：原式=a^²-2ab ab-2b^² ab-7b^²

=a^²-9b^²

= a^²-(3b)^²

=(a 3b)(a-3b)．

最後再看幾個例子：

例1 分解因式：25(a b)^²-9(a-b)^².

解：原式=[5(a b)]^²-[3(a-b)]^²

=[5(a b) 3(a-b)][5(a b)-3(a-b)]

=(8a 2b)(2a 8b)

=2(4a b)·2(a 4b)

=4(4a b)(a 4b)．

例2 因式分解：27a^³x^²-75ax^⁴.

解：原式=3ax^²(9a^²-25x^²)

=3ax^²[(3a)^²-(5x)^²]

=3ax^²(3a 5x)(3a-5x).

例3 因式分解：x^⁵-16x．

解：原式x(x^⁴-16)

=x(x^² 4)(x^²-4)

= x(x^² 4)(x 2)(x-2)．

練習：把下列多項式因式分解：

（1）8x^²-18．

（2）4m³-9mn^².

（3）64x^²-36．

（4）(x-1)y^² (1-x).

（5）a^⁴-625.

（6）2a^²-1/2.

（未完待續）

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