Mar.

29 灼見（penetratingview）

抓住問題的本質，有些時候會消除“跑偏”帶來的及其繁雜的額外工作。

作者 | 知乎@戶飛

寫在前面：

如果你是高中生，而且想要詳細了解學習并掌握這種方法的話，建議你重點關注第三道題，也就是那道2011年山東高考真題，并把它吃透。因為那畢竟是一道相對較難的高考題，幾乎囊括了這種方法可能會用到的思路。如果你隻是看着玩，那道題盡可跳過。

01

高中數學有一道題對我影響很大，以至于我現在大四了，這道題還記得清清楚楚。

之前高中的時候數學卷子上有一道題，大概是這樣的：

如圖所示，兩個橢圓離心率相同，從外層橢圓的兩個頂點AB分别引一條内橢圓的切線。兩條切線斜率乘積為-1/4。問橢圓離心率是多少？

我記得老師講這道題講了整整一節課，講了兩種方法，計算過程寫了整個黑闆。但是我在聽評講的時候，覺得我考試的時候用的方法要簡單的多，甚至幾乎不用計算。

我的方法是：既然離心率相同，就說明兩橢圓相似，那就先把整個圖形縱坐标乘a/b，縮放成圓：

這時，兩切線垂直，斜率乘積為-1。這可以通過連接OD、OC，進而證明兩直角三角形ODB和OCA全等得以證明：

而之前的斜率乘積是-1/4，說明a/b=2，離心率為 。

當我下課單獨找老師說出這個方法時，老師都很驚訝，我還小小地得意了一回。從那以後，好像打開了新大門似的，突然發現好多圓錐曲線的高考題都能用這種“先縮放成圓”的方法很簡單的解決，省略了特别多的計算量，這些題裡包括全國卷的，四川卷的，山東卷的……我專門用了一個本子記錄了這些題。

再後來，我專門查了一下，發現這裡面的學問還很深。有一門專門的學科分支，叫射影幾何，專門研究我發現的這種問題。我之前做題的時候找到的那些“特殊點”，射影幾何裡專業的名詞叫做“反演點”……這是一個非常完善的幾何學分支，我所應用的那些隻不過是“射影幾何”的皮毛，湊巧被我偶然發現了而已。

為什麼說對我影響很大呢？因為通過這種巧妙的方法，我明白了圓錐曲線的題，雖然大家都說實際上是計算量超級大的代數題，但它畢竟是“曲線”，它的本質畢竟是幾何。

抓住問題的本質，有些時候會消除“跑偏”帶來的及其繁雜的額外工作。雖然我現在所從事的專業早已經不是數學，而是工程科學，但是，由于工科是目标導向型學科，這個道理在工科領域其實更加普遍。

有時候，我容易埋頭苦幹，調試各種程序電路光路，卻毫無進展，這時我總會想到高中的這個巧妙的方法，然後回過頭想一想事情的本質，說不定就會柳暗花明。

最近閑來無事，翻了翻之前高中記錄這些題的本子，裡面有很多用類似方法的。再分享一道差不多的題吧。

02

如圖所示：

過橢圓一頂點A作一直線和橢圓相交于Q，和y軸相交于M。過原點作射線與橢圓相交于P，有OP//AQ。求證：

這道題的最優解法仍然是用射影幾何的方法。同樣，圖形縱坐标×a/b，橢圓變成圓，再連接OQ，MB：

設，伸縮變換後：

（r 為圓的半徑，由于平行條件可得出）

注意到，兩等腰三角形相似：

于是有：

将以上幾式聯立，代入半徑r，最終得到：

還有很多相似的題，高中生可以借鑒一下。但是這畢竟是劍走偏鋒，考試的時候還是主要用老師的方法，實在想不出來了，再試試射影幾何的方法。

也許有人會說，這個用了會扣分，确實是會扣分，但是你反過來想，你啥時候會想到用這個呢？肯定是常規方法做不出來的情況啊，那你肯定甯願用這個扣分，也不願意空着沒分吧。更何況小題的話，用了有分，不用沒分，收益更大嘛。

03

2011年山東卷的壓軸題好像是一道解析幾何，并且能用射影幾何變換；2014年的四川卷（也可能是2015年）的解析幾何能夠用這個方法；2011江蘇的解析幾何大題應該也可以。

除此之外，有興趣的也可以自己試一試。

下面，我用射影變換的方法做一下11年山東卷的最後一道解析幾何壓軸題。如果有興趣的同學可以試着用标答的方法做一下，然後再用射影幾何變換做一下，再和我的方法比較一下。題目如下：

解：

将原圖形的縱坐标 （a/b設為λ），橢圓變成圓：

（1） 的面積為與原的面積之比為λ。在此不做證明。提供兩個思路：一是三角形的坐标面積公式，二是把三角形補成矩形。

于是有：

得到：

由幾何關系易得： ，通過λ系數變換回橢圓即證得。

y的平方類似，我就不打公式了。

（2）在橢圓中，按照題意連接OM，如下圖所示：

設 ,三角形OMQ的面積為S，并且有 ，

則有 ,其中，θ為 的大小，問題轉化為求sin(θ)的最小值. 設圓中對應的

把θ沿[平行于橫軸的水平線]分為兩個角 和 ，圓中對應的角為 和 ，如下圖所示：

有：

隻考慮θ為銳角的情況（鈍角的時候，通過對稱性可解得），要求sin(θ)的最小值，即求θ的最小值，即求tan(θ)的最小值。

将以上三式聯立，容易解得：

當 時，等号成立，得到tanθ，通過三角函數關系易求得：

代入t得到： .

（3）不存在。由（1）得到：若三角形面積為 ，變換成圓後必為等腰直角三角形。而三個直角相加 為 270°，不等于360°。

所以不存在。

—THE END—

☀本文選自知乎，作者：戶飛。灼見經授權發布。

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