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如何用斜邊求三角形面積

生活更新时间:2024-07-19 05:11:06

如何用斜邊求三角形面積（知道角和鄰邊如何求三角形面積的取值範圍）1

這是高一學生問的一個問題，在高一同步課學到解三角形中常見一類面積的最值問題，即已知一角和角的對邊求三角形面積的最值或周長的最值，這種題目屬于常規套路問題了，若求面積，可采用邊化角的正弦值，利用三角函數有界性去解，或者根據餘弦定理結合基本不等式求最值，再或者利用三角形的外接圓，利用底邊長确定，找到高最大時的情況即可，但如果給出的是一個角和其鄰邊長，如何求三角形面積的取值範圍？

答案是不可能求，在沒有其他限定條件下，面積的取值範圍為0到正無窮，如下圖所示中，C點可以無限接近B點也可以無限遠離B點，此時BC的長度下限接近于0，無上限，若限定三角形的形狀，若限定三角形為銳角三角形或鈍角三角形，則BC的長度所在的範圍就能确定出來了，雖然無法取等。

如何用斜邊求三角形面積（知道角和鄰邊如何求三角形面積的取值範圍）2

此類問題的處理方法有三種，第一種最簡單，通過作圖來解，先确定出三角形為直角三角形時點C的位置，共兩個位置，C點在其中間，求出最短和最長的情況即可。

如何用斜邊求三角形面積（知道角和鄰邊如何求三角形面積的取值範圍）3

第二種解法是通過餘弦定理判定角度的形狀，則cosA>0,cosC>0，結合已知B角的餘弦定理，将邊b替換成邊a，解兩個不等式即可。

如何用斜邊求三角形面積（知道角和鄰邊如何求三角形面積的取值範圍）4

第三種解法是利用正弦定理，将邊a建立起隻與角A或角C的三角函數關系，利用三角函數有界性去解。

如何用斜邊求三角形面積（知道角和鄰邊如何求三角形面積的取值範圍）5

第二第三種方法可用在大題步驟中，小題直接用第一種即可，這個問題有些學生不太注意，另外在高一解三角形同步課程中很多學生忽略了角平分線和中線時的應用，特别是出現中線時的處理方法，出現中線時可采用向量加法加平方的處理思路，也可以利用中線與對邊所成兩角互補，餘弦值相加等于零确定出中線長和三角形三邊的等式關系，而中線又可引申成重心問題，在以後高三學習中解三角形求值類問題中較為常見，一定要注意。

如何用斜邊求三角形面積（知道角和鄰邊如何求三角形面積的取值範圍）6

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