基

本

概

念

第一章 數和數的運算

一、概念

二、方法

三、性質和規律

四、運算的意義

五、應用

一、概念-（一）整數

1、整數的意義

自然數和0都是整數。

2、自然數

我們在數物體的時候，用來表示物體個數的1，2，3，叫做自然數。

一個物體也沒有，用0表示。0也是自然數。

3、計數單位

一（個） 、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬、億，都是計數單位。每相鄰兩個計數單位之間的進率都是10.這樣的計數法叫做十進制計數法。

4、數位

計數單位按照一定的順序排列起來，他們所占的位置叫做數位。

5、數的整除

整數a除以整數b(b ≠ 0），除得的商是整數而沒有餘數，我們就說a能被b整除，或者說b能整除a。

如果數a能被數b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍數，b就叫做a的約數（或a的因數）。倍數和約數是相互依存的。 例如：因為35能被7整除，所以35是7的倍數，7是35的約數。

一個數的約數的個數是有限的，其中最小的約數是 1，最大的約數是它本身。例如：10的約數有1、2、5、10，其中最小的約數是1，最大的約數是10。

一個數的倍數的個數是無限的，其中最小的倍數是它本身。3的倍數有：3、6、9、12，其中最小的倍數是3 ，沒有最大的倍數。

個位上是0、2、4、6、8的數，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。

個位上是0或5的數，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。

一個數的各位上的數的和能被3整除，這個數就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。

一個數各位數上的和能被9整除，這個數就能被9整除。

能被3整除的數不一定能被9整除，但是能被9整除的數一定能被3整除。

一個數的末兩位數能被4（或25）整除，這個數就能被4（或25）整除。例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。

一個數的末三位數能被8（或125）整除，這個數就能被8（或125）整除。例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。

能被2整除的數叫做偶數。

不能被2整除的數叫做奇數。

0也是偶數。自然數按能否被2整除的特征可分為奇數和偶數。

一個數，如果隻有1和它本身兩個約數，這樣的數叫做質數（或素數），100以内的質數有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

一個數，如果除了1和它本身還有别的約數，這樣的數叫做合數，例如 4、6、8、9、12都是合數。

1不是質數也不是合數，自然數除了1外，不是質數就是合數。如果把自然數按其約數的個數的不同分類，可分為質數、合數和1。

每個合數都可以寫成幾個質數相乘的形式。其中每個質數都是這個合數的因數， 叫做這個合數的質因數，例如15=3×5，3和5 叫做15的質因數。

把一個合數用質因數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數。

幾個數公有的約數，叫做這幾個數的公約數。其中最大的一個，叫做這幾個數的最大公約數，例如12的約數有1、2、3、4、6、12；18的約數有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和18的公約數，6是它們的最大公約數。

公約數隻有1的兩個數，叫做互質數，成互質關系的兩個數，有下列幾種情況：

1 和任何自然數互質。

相鄰的兩個自然數互質。

兩個不同的質數互質。

當合數不是質數的倍數時，這個合數和這個質數互質。

兩個合數的公約數隻有 1 時，這兩個合數互質，如果幾個數中任意兩個都互質， 就說這幾個數兩兩互質。

如果較小數是較大數的約數，那麼較小數就是這兩個數的最大公約數。

如果兩個數是互質數，它們的最大公約數就是 1。

幾個數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數，其中最小的一個，叫做這幾個數 的最小公倍數，如2的倍數有2、4、6 、8、10、12、14、16、18 ,3的倍數有3、6、9、12、15、18 ,其中6、12、18,,是2、3的公倍數，6是它們的最小公倍數。

如果較大數是較小數的倍數，那麼較大數就是這兩個數的最小公倍數。

如果兩個數是互質數，那麼這兩個數的積就是它們的最小公倍數。

幾個數的公約數的個數是有限的，而幾個數的公倍數的個數是無限的。

一、概念-（二）小數

1、小數的意義

把整數 1 平均分成 10 份、100 份、1000 份, 得到的十分之幾、百分之幾、 千分之幾 , 可以用小數表示。

一位小數表示十分之幾， 兩位小數表示百分之幾， 三位小數表示千分之幾 。

一個小數由整數部分、小數部分和小數點部分組成。數中的圓點叫做小數點， 小數點左邊的數叫做整數部分，小數點右邊的 數叫做小數部分。

在小數裡，每相鄰兩個計數單位之間的進率都是 10。小數部分的最高分數單位 “十分之一”和整數部分的最低單位“一”之間的進率也是 10。

2、小數的分類

純小數：整數部分是零的小數，叫做純小數。例如： 0.25 、 0.368 都是純小數。

帶小數：整數部分不是零的小數，叫做帶小數。 例如： 3.25 、 5.26 都 是帶小數。

有限小數：小數部分的數位是有限的小數，叫做有限小數。 例 如： 41.7 、 25.3 、0.23 都是有限小數。

無限小數： 小數部分的數位是無限的小數，叫做無限小數。 例如： 4.33……、3.1415926…… 。

無限不循環小數：一個數的小數部分，數字排列無規律且位數無限，這樣的小數叫做無限不循環小數。 例如：π

循環小數：一個數的小數部分，有一個數字或者幾個數字依次不斷重複出現， 這個數叫做循環小數。 例如： 3.555……, 0.0333……, 12.109109……。

一個循環小數的小數部分，依次不斷重複出現的數字叫做這個循環小數的循環節。 例如： 3.99……, 的循環節是“ 9 ” ， 0.5454……, 的循環節是 “ 54 ” 。

純循環小數：循環節從小數部分第一位開始的，叫做純循環小數。 例 如： 3.111……, 0.5656……。

混循環小數：循環節不是從小數部分第一位開始的，叫做混循環小數。 3.1222……, 0.03333……。

寫循環小數的時候，為了簡便，小數的循環部分隻需寫出一個循環節，并在這 個循環節的首、末位數字上各點一個圓點。如果循環節隻有一個數字，就隻在它的上面點一個點。例如：

一、概念-（三）分數

1、分數的意義

把單位“ 1”平均分成若幹份，表示這樣的一份或者幾份的數叫做分數。

在分數裡，中間的橫線叫做分數線；分數線下面的數，叫做分母，表示把單位 “1”平均分成多少份；分數線下面的數叫做分子，表示有這樣的多少份。

把單位“ 1”平均分成若幹份，表示其中的一份的數，叫做分數單位。

2、分數的分類

真分數：分子比分母小的分數叫做真分數。真分數小于 1。

假分數：分子比分母大或者分子和分母相等的分數，叫做假分數。假分數大于或等于1。

帶分數：假分數可以寫成整數與真分數合成的數，通常叫做帶分數。

3、約分和通分

把一個分數化成同它相等但是分子、分母都比較小的分數 ，叫做約分。

分子分母是互質數的分數，叫做最簡分數。

把異分母分數分别化成和原來分數相等的同分母分數，叫做通分。

一、概念-（四）百分數

1、表示一個數是另一個數的百分之幾的數叫做百分數 , 也叫做百分率或百分比。百分數通常用“%”來表示。百分号是表示百分數的符号。

~END~

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