高中數學，奇函數、偶函數隻是 點對稱和線對稱的特殊情形，是最基礎且必須掌握的；但是考試試題中，經常遇到的是關于任意點對稱或任意直線對稱，甚至雙對稱的情況也比比皆是，這就需要我們更深入的學習，有備無患！下面我們就來一一推導一般情形下的點對稱、線對稱和雙對稱公式。

高中數學課堂

一、函數關于某點對稱（單對稱）

牢記：f(x)關于點（a，b）對稱,則有y=f(x)=2b-f（2a-x）或者f(a x)=2b-f(a-x)

（特别的，奇函數關于原點（0,0）對稱）

證明：∵f(x)上關于點（a，b）對稱

設P(x0,y0)為函數f(x)上任意一點，即y0 = f(x0)

關于點（a，b）對稱的點為Q（x,y）

則有x0 x=2a,y0 y=2b

亦即 x0=2a-x,y0=2b-y

∴有2b-y=f(2a-x),

∴f(x)關于點（a，b）對稱的表達式是y=f(x)=2b-f（2a-x），

也可表示為f(a x)=2b-f(a-x)。

例1、已知函數y=f(x)的定義域是

，函數g(x)=f(x 5) f(1-x)，若g(x)=0方程有且僅有7個不同的實數解，則這7個實數解之和為_________.

解：∵g(x)=f(x 5) f(1-x)，令t=2 x，

∴g(t)=f(3 t) f(3-t)=0

∴f(3 t)=-f(3-t)關于點(3,0)對稱，

又方程g(x)=0有且僅有7個不同的實數解，

∴方程有一個根為3，其餘六個根關于(3,0)對稱。

∴這個實數解之和為3 3×6=21

二、函數關于某一條直線對稱（單對稱）

牢記：f(x)關于直線x=a對稱,則有f(a x)=f(a-x),或者f(x)=f(2a-x).

（特别的，偶函數關于x=0對稱）

證明：因為f(x)關于直線x=a對稱,

設 (m,n)為f(x)上任一點,即n=f(m)

則(m,n)關于x=a的對稱點(2a-m,n)也在y=f(x)上,

即 n=f(2a-m)

∴ f(m)=f(2a-m)

∴f(x)=f(2a-x).

三、雙對稱情形

3.1、牢記：函數f(x)關于某點（a,m）成中心對稱,關于直線x=b成軸對稱，那麼f(x)是周期函數，周期是4|a-b|

證明：∵f(x)關于某點（a,m）成中心對稱,關于直線x=b成軸對稱

∴f(x) f(2a-x)=2m①, f(2b-x)=f(x)②,

用2b-x代替x，代入①得

f(2b-x) f(2a-2b x)=2m，再代入②得

f(x)=2m-f(2a-2b x)，用2（a-b） x代替x，得

f[2(a-b) x)]=2m- f[4(a-b) x)]，代入f(x)=2m-f(2a-2b x)得

f(x)=f[4(a-b) x)]

∴f(x)是周期函數，周期是4|a-b|

例4、已知f(x)是定義域為R的偶函數，且f(1-x)=-f(1 x)，若x∈[0,1]時，f(x)=(x-1)，則f(2018)=（ ）

解：方法一、由題意，f(x)是定義域為R的偶函數

∴f(1-x)=-f(1 x)=f(x-1)，

令t=x-1，則x=t 1代入得

則f(t)=-f(t 2)

∴f(t 2)=-f(t 4)

∴f(t)=f(t 4)，即T=4，

∴f(2018)=f(2)=-f(0)=-1.

方法二、利用點線雙對稱結論

∵f(1-x)=-f(1 x)

∴函數關于（1,0）對稱

又f(x)是定義域為R的偶函數

f(x)是周期函數，且周期為T=4

∴f(2018)=f(2)=-f(0)=-1.

3.2、牢記：函數有兩個對稱軸（證明略）

f(x)的2個對稱軸x=a,x=b.則T=2|a-b|

3.3、牢記：函數有兩個對稱中心

有f(X）的2個對稱中心（a,k）(b,k)則T=2|a-b|

證明：∵f(x)關于某點（a,k）(b,k)成中心對稱

∴f(x) f(2a-x)=2k①, f(x) f(2b-x)=2k②,

用2b-x代替x，代入①得

f(2b-x) f(2a-2b x)=2k，再代入f(2b-x)=2k-f(x)得

2k-f(x) f(2a-2b x)=2k

解得：f(x)=f(2a-2b x)

∴f(x)為周期函數，且周期為T=2|a-b|

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