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高中數學導數 法則

教育 更新时间:2024-12-26 03:54:12
高中數學常用公式及結論(導數及定積分總結)

一 、f(x)在 x0 處的導數(或變化率):

高中數學導數 法則(高中數學導數及定積分總結)1

圖(1)

① 瞬時速度:

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瞬時速度圖

② 瞬時加速度

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瞬時加速度圖

二、 函數 y = f(x)在點 x0 處的導數的幾何意義:

函數 y = f(x)在點 x0 處的導數是曲線 y = f(x)在點 P(x0 , f(x0)) 處的切線的斜率 f '(x0);

相應的切線方程是: y - y0 = f '(x0)(x - x0)。

三、幾種常見函數的導數:

① C' = 0 (C 為常數);

② 幂函數

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幂函數求導公式圖

③ 三角函數

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正弦和餘弦函數求導公式圖

④ 指數函數

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指數函數求導公式圖

⑤ 對數函數

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對數函數求導公式圖

四、導數的運算法則:

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導數的運算法則圖

五、複合函數的導數:

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複合函數求導公式圖

六、導數在函數中的應用:

① 函數 y = f(x)在區間 (a , b)的單調性與導數

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單調性圖

② 判别 f (x0)是極大(小)值的方法:

當函數 f(x)在點 x0 處連續時,

(1)如果在 x0 附近的左側 f '(x0)> 0 ,右側 f '(x0)< 0,則 f (x0)是極大值;

(2)如果在 x0 附近的左側 f '(x0)< 0,右側 f '(x0)> 0,則 f (x0) 是極小值 。

七、定積分的性質:

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定積分的性質圖(1)

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定積分的性質圖(2)

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定積分的性質圖(3)

④ 如果在閉區間 [a,b] 上,f(x) ≥0 , 則

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定積分的性質圖(4)

八、微積分基本定理:

如果函數 f(x) 是閉區間 [a,b] 上的連續函數,并且有 F′(x) = f(x),那麼有

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微積分基本定理圖

九、定積分的幾何意義:

由連續曲線 y = f(x)( f(x)≥ 0 )和 x = a , x = b 及 y = 0 圍成的平面圖形 AabB 稱為曲邊梯形,如下圖所示:

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定積分的幾何意義圖(1)

① 若 f(x)≤ 0 (如下圖所示)則曲邊梯形的面積

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定積分的幾何意義圖(2)

② 把由直線 y = c,y = d (c < d )及兩條連續曲線 x = g1(y),x = g2(y) ( g1(y) ≤ g2(y)) 所圍成的平面圖形稱為Y-型圖形。

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定積分幾何意義圖(3)

圖中陰影部分的面積:

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求圖中陰影部分面積公式圖(1)

③ 由連續曲線 y = f1(x), y = f2(x)和 直線 x = a , x = b 圍成的圖形的面積 。

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定積分幾何意義圖(3)

圖中陰影部分的面積:

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求圖中陰影部分面積公式圖(2)

十、定積分在物理上的應用

變速 v = v(t)(t ≥ 0) 時間在 [ a , b ] 段 ,路程

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定積分在物理上的應用圖(1)

變力 F = F(x), 物體沿力的方向從 a 移動到 b ,做功

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定積分在物理上的應用圖(2)

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