線段型最值問題是曆年中考命題的熱點，常在壓軸題中出現，由于此類問題都是變化過程中，圖形大小或形狀是随動點的運動而變化的，學生很難把握變化圖形的形狀及其大小，故大多數學生遇到最值是"談虎色變"不敢下手或無從下手，本文拟通過實例分析，一起探讨線段型最值問題的三種解題策略。

利器一：化斜線為垂線，利用垂線段最短求解

1．（2019秋•南丹縣期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，∠BAC＝30°，∠BAC的平分線交BC于點D，E，F分别是線段AD和AB上的動點，則BE EF的最小值是_____．

【解析】：方法一：如圖1所示，在AC邊上截取AB′＝AB，作B′F⊥AB于點F，交AD于點E，

∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠B′AE，AE＝AE，∴△ABE≌△AB′E（SAS）．

∴BE＝B′E，∴B′F＝B′E EF＝BE EF，

∵垂線段最短，∴此時BE EF最短．

∵AB＝AB′＝6，∠BAC＝30°，∴B′F＝1/2AB′＝3．故答案為3．

方法二：如圖2所示,在AC邊上截取AG＝AF，連接BG交AD于點E，作BH⊥AC于點H，

同方法一：得△AEG≌△AFG（SAS）,∴EG＝EF，∴BG＝BE EG＝BE EF，

當BG垂直于AC時最短，即BH的長最短，

∵AB＝6，∠BAC＝30°，∴BH＝3．故答案為3．

2．（2020•新撫區二模）如圖，邊長為5的等邊三角形ABC中，M是高CH所在直線上的一個動點，連接MB，将線段BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接HN．則在點M運動過程中，線段HN長度的最小值是_______．

【解析】取CB的中點G，連接MG，根據等邊三角形的性質可得BD＝BG，再求出∠HBN＝∠MBG，根據旋轉的性質可得MB＝NB，然後利用"邊角邊"證明∴△MBG≌△NBH，再根據全等三角形對應邊相等可得HN＝MG，然後根據垂線段最短，MG⊥CH時，MG最短，即HN最短，

此時∵∠BCH＝1/2×60°＝30°，CG＝1/2AB＝1/2×5＝2.5，

∴MG＝1/2CM＝1/2×2.5＝1.25，∴HN＝1.25，故答案為：1.25．

3．（2020•新撫區二模）在△ABC中，∠ACB＝45°，BC＝5，AC＝2√2，D是BC邊上的動點，連接AD，将線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到線段AE，連接EC．

（1）如圖a，求證：CE⊥BC；

（2）連接ED，M為AC的中點，N為ED的中點，連接MN，如圖b．

①寫出DE、AC，MN三條線段的數量關系，并說明理由；

②在點D運動的過程中，當BD的長為何值時，M，E兩點之間的距離最小？最小值是_____，請直接寫出結果．

【解析】（1）如圖a，過點A作AH⊥AC交BC于H，由"SAS"可證△HAD≌△CAE，可得∠ACE＝∠AHD＝45°，可得結論；

（2）①如圖b，連接AN，CN，由直角三角形的性質和等腰三角形的性質可得AN＝CN＝DN＝EN＝1/2DE，MN⊥AC，AM＝CM＝1/2AC，由勾股定理可得結論, MN² 1/4AC²＝1/4DE²;

②根據垂線段最短即可解決問題．如圖c中，

由（1）可知∠ECB＝90°，∴CE⊥BC，

∴當ME⊥EC時，ME的值最小，

在Rt△ABC中，∵AH＝AC＝2√2，∴HC＝4，

∵AM＝MC＝√2，

在Rt△CME中，∵∠ECM＝∠CME＝45°，

∴EC＝EM＝1，由（1）可知：△HAD≌△CAE，∴HD＝EC＝1，

∴CD＝4﹣1＝3，

∴BD＝5﹣3＝2，∴當BD＝2時，EM的值最小，最小值為1。

方法歸納：

1、由上述例題可以發現"斜大于直"問題考察題型較為廣泛，可以是單一線段最值，也可以是多條線段最值，還能是含系數的線段和的最值問題，無論是哪一種題型，都可以利用轉化思想對問題進行巧妙處理。

1）單線段的最值常見于直線型的點到直線的距離，利用"隐點"和"隐線"加大題目難度

2）多線段和的最值始終遵循"同化異，折化直"的解題思路，如遇線段系數，通過三角函數進行轉化

2、始終抓住"斜大于直"進行解題

利器二：利用将軍飲馬模型，化折線為直線

4．（2019秋•恩施市期末）如圖，△ABC中，AB＝16，BC＝10，AM平分∠BAC，∠BAM＝15°，點D、E分别為AM、AB的動點，則BD DE的最小值是______．

【解析】：作BF⊥AC于點F，如圖所示，

∵在△ABC中，AB＝16，BC＝10，AM平分∠BAC，∠BAM＝15°，∠BFA＝90°，∴∠BAC＝30°，∴AB＝2BF，∴BF＝8，

∵AM平分∠BAC，點D、E分别為AM、AB的動點，F

∴BD DE的最小值是BF，∴BD DE＝8，故答案為：8．

5．（2019秋•平谷區期末）如圖，△ABC是等邊三角形，AB＝2，AD是BC邊上的高，E是AC的中點，P是AD上的一個動點，則PE PC的最小值為（　　）

A．1 B．2 C．√3 D．2√3

【解析】根據等邊三角形的三線合一的性質，連接BE交AD于點P，此時PB＝PC，即可得到PE PC的最小值即為BE的長．如圖，連接BE交AD于點P′，

∵，△ABC是等邊三角形，AB＝2，AD是BC邊上的高，E是AC的中點，

∴AD、BE分别是等邊三角形ABC邊BC、AC的垂直平分線，

∴P′B＝P′C，P′E P′C＝P′E P′B＝BE，根據兩點之間線段最短，點P在點P′時，PE PC有最小值，最小值即為BE的長．利用勾股定理可求得BE＝√3，所以P′E P′C的最小值為√3．故選：C．

6．（2019秋•碑林區校級月考）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝90°，AB＝AD．連接AC，若AC＝5√2，則CD CB的最小值為_____．

【解析】根據旋轉的性質将三角形ADC繞點A旋轉90度到三角形ABE，使DC和BC在一條直線上，根據等腰直角三角形的性質即可求解．如圖

易得△ABE≌△ADC，∴AE＝AC＝5√2，BE＝DC，∠EAB＝∠CAD，

∴∠EAC＝∠BAD＝90°，∴利用勾股定理可求得EC＝10，∴CD CB＝CB BE＝EC＝10．

7．（2018秋•碑林區期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝BC，∠DAC＝30°，AC＝2，設Q，R分别是AB、AD上的動點，則△CQR的周長最小值是______．

【解析】：如圖所示：

分别作點C關于AB、AD的對稱點E、F，連接EF與AB、AD交于點Q、R，

此時△CQR的周長最小．根據對稱性得：CR＝ER，CQ＝FQ，∴CR CQ QR＝ER FQ QR＝EF，∴△CQR的周長即為EF的長．

在Rt△ADC中，∵∠DAC＝30°，AC＝2，∴CD＝1，

∵∠ABC＝90°，AB＝BC∴∠BAC＝∠BCA＝45°，∴BC＝AC•sin45°＝√2,

∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴A、B、C、D四點共圓，∴∠CDB＝∠CAB＝45°，

∠CBD＝∠CAD＝30°，在△CBD中，作CH⊥DB于H，

8．（2019秋•黃石港區校級期中）如圖，∠AOB＝20°，點M，N分别是邊OA，OB上的定點，點P，Q分别是邊OB、OA上的動點，記∠MPQ＝α，∠PQN＝β，當MP PQ QN最小時，則β﹣α的值為______．

【解析】：如圖，作M關于OB的對稱點M′，N關于OA的對稱點N′，連接M′N′交OA于Q，交OB于P，則MP PQ QN最小，

∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，

∴∠QPN＝1/2（180°﹣α）＝∠AOB ∠MQP＝20° 1/2（180°﹣β），

∴180°﹣α＝40° （180°﹣β），∴β﹣α＝40°．

方法歸納：求有關折線最小問題，通常情況下都是将折線問題化為直線，利用"兩點之間線段最短"進行求解。

利器三：借助方程或函數知識，化幾何為代數

方法歸納：将斜線轉化成直線，或将折線轉化成直線，通常要用幾何變換，需要學生有比較敏銳的眼光，一般學生很難想到，這時不妨将幾何問題代數化，将其轉化成函數的最值問題或一元二次方程根的存在性問題。

在解決有關線段和的最小值和最大值的問題的時候，我們采用的數學思想方法是“化折為直”，有時需要通過對稱變換作轉化，然後根據“兩點之間線段最短”這個知識來解決問題，這是将軍飲馬類問題的解題思想，将軍飲馬類問題根據定點個數和動點個數可以分為以下幾類：一動點兩定點（将軍飲馬原型），一定點兩動點，兩定點兩動點，其中包括兩動點之間距離不變的問題，我們稱之為沿河飲馬問題，統統這些問題的解題策略都是：作軸對稱變換，然後化折為直，利用兩點之間線段最短來解決問題。

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