一、函數的圖像

把一個函數的自變量 x 與對應的因變量 y 的值分别作為點的橫坐标和縱坐标 , 在直角坐标系内描出它的對應點 , 所有這些點組成的圖形叫做該函數的圖象。

例：

一次函數 y=2x 1 的圖像

反比例函數 y=k/x(k>0) 的圖像

二次函數 y=ax^2(a<0) 的圖像

二、函數的圖像及畫法

1、畫函數圖像的一般步驟：(1)列表；(2)描點；(3)連線 。

2、函數圖像與點的坐标的關系：

① 函數圖像上的任意點 P(x，y) 必滿足該函數表達式 ；

② 滿足函數表達式的任意一對 x，y 的值，所對應的點一定在該函數的圖像上 ；

③ 判斷點 P(x，y) 是否在函數圖像上的方法：

将點 P(x，y) 代入函數表達式，如果滿足函數表達式，那麼這個點就在函數的圖像上；如果不滿足函數的表達式，那麼這個點就不在函數的圖像上 。

例題1、已知一次函數 y=kx 2，當x=-1時， y=1，求此函數的表達式，并在平面直角坐标系中畫出此函數的圖像。

注：本題主要考查利用待定系數法求函數的表達式和利用“兩點法”作一次函數圖像，根據兩點确定一條直線作出圖像是解答此題的關鍵。

三、正比例函數的圖像和性質

注：正比例函數 y=kx（k≠0）的圖像是經過原點（0，0）的一條直線，反之，如果函數圖像是直線且經過原點（除坐标軸外），那麼它對應的函數就是正比例函數 。

四、一次函數的圖像與性質

k>0

k<0

注：

① k 決定一次函數y=kx b（k≠0）的增減性，b 決定函數圖像與 y 軸的交點位置 ；

② 通過圖像可知一次函數 y=kx b（k≠0）的圖像是一條直線。

根據“兩點确定一條直線”的性質，畫一次函數的圖像時隻要找出兩個點，再過這兩個點作直線就可得到一次函數的圖像。

一次函數的圖像與 y 軸的交點坐标是（0，b），與 x 軸的交點坐标是(-b/k，0)，畫圖像時通常選取這兩個特殊點 。

例題2、關于直線 l：y=kx k（k≠0），下列說法不正确的是（D ）

A、點（0，k）在 l 上

B、l 經過定點（-1，0）

C、當 k＞0 時，y 随 x 的增大而增大

D、l 經過第一、二、三象限

例題3、已知一次函數 y=mx n 的圖像不經過第二象限，求m，n 的 取值範圍。

解：由題意，得一次函數 y=mx n 的圖像經過第一、三、四象限或第一、三象限，

所以 m>0，且 n≤0。

注：要判斷一個函數是否為一次函數，就是要通過恒等變形，把它轉化為y=kx b的形式，

即 x 的次數為 1，且 k≠0，b 為任意常數，否則它就不是一次函數，解題過程中易忽略 k≠0這個條件，導緻出錯。

例題4、若直線 y=kx-4 與兩坐标軸所圍成的三角形的面積是 4，求該直線的解析式

五、知識拓展與提高

① |k|與直線的傾斜程度：

|k| 的大小決定直線的傾斜程度，|k|越大，直線越陡；|k|越小，直線越緩；

② 正比例函數y=kx（k≠0）的圖像與一次函數 y=kx b（k≠0）的圖像的位置關系：

二者的圖像都是直線，且互相平行；

平移關系：

直線y=kx（k≠0）向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|個單位長度，就能得到直線y=kx b（k≠0）；

反之将直線y=kx b（k≠0）向下（b>0）或向上（b<0）平移|b|個單位長度，就能得到直線 y=kx（k≠0）。

例題5、已知正比例函數 y=kx 的圖像經過點 A，點 A 在第四象限，過點 A 作 AH⊥x 軸，垂足為 H，點 A 的橫坐标為3，且 △AOH 的面積為 3。

(1) 求正比例函數的表達式 ;

(2) 在 x 軸上能否找到一點 P，使 △AOP 的面積為 5？ 若存在，求出點 P 的坐标；若不存在，請說明理由。

解題思路：

（1）先根據題意求出點 A 的坐标，再利用待定系數法求出正比例函數的表達式；

（2）先利用三角形的面積公式求得 OP=5，再根據坐标與圖形的性質求得點 P 的坐标。

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